Номер 7, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 7, страница 127.

7. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Формулировка признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство
Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых прямые углы – это $\angle C$ и $\angle C_1$ соответственно ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).
Пусть по условию их гипотенузы равны: $AB = A_1B_1$.
Также пусть равен один из острых углов, например, угол, прилежащий к катету $AC$: $\angle A = \angle A_1$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поскольку в прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^\circ$, сумма двух острых углов также равна $90^\circ$.
Для $\triangle ABC$ имеем: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.
Для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $\angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$.
Отсюда мы можем выразить вторые острые углы:
$\angle B = 90^\circ - \angle A$
$\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$
Так как по условию $\angle A = \angle A_1$, то и $\angle B = \angle B_1$.
Теперь мы имеем, что в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:
$AB = A_1B_1$ (по условию)
$\angle A = \angle A_1$ (по условию)
$\angle B = \angle B_1$ (из доказательства)
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Если бы изначально были равны другие острые углы ($\angle B = \angle B_1$), доказательство было бы аналогичным, и мы бы установили равенство углов $\angle A$ и $\angle A_1$.
Таким образом, признак доказан.

Ответ: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

7. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников

по катету и противолежащему острому углу.