Номер 478, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

478. В треугольниках $ABC$ и $MKE$ $AB = MK$, $BC = KE$, $\angle B = \angle K$. На отрезке $AB$ отметили точку $F$, а на отрезке $MK$ — точку $P$ так, что $\angle ACF = \angle MEP$. Какова длина отрезка $CF$, если $PE = 15$ см?

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MKE$. По условию задачи дано, что $AB = MK$, $BC = KE$ и угол между этими сторонами $\angle B = \angle K$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ABC$ равен треугольнику $MKE$: $\triangle ABC \cong \triangle MKE$.

Из равенства треугольников $ABC$ и $MKE$ следует равенство их соответствующих элементов:

• $AC = ME$ (как соответственные стороны)
• $\angle A = \angle M$ (как соответственные углы)
• $\angle BCA = \angle KEM$ (как соответственные углы)

Теперь рассмотрим треугольники $ACF$ и $MEP$. Сравним их элементы:

• $AC = ME$ (доказано выше).
• $\angle FAC = \angle PME$ (так как это те же углы, что и соответственные углы $\angle A$ и $\angle M$).
• $\angle ACF = \angle MEP$ (дано по условию задачи).

Таким образом, у нас есть сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, которые соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\angle FAC$ и $\angle ACF$ – углы, прилежащие к стороне $AC$; $\angle PME$ и $\angle MEP$ – углы, прилежащие к стороне $ME$). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $ACF$ равен треугольнику $MEP$: $\triangle ACF \cong \triangle MEP$.

Из равенства треугольников $ACF$ и $MEP$ следует равенство их соответственных сторон. Сторона $CF$ в $\triangle ACF$ лежит напротив угла $\angle FAC$. Сторона $PE$ в $\triangle MEP$ лежит напротив угла $\angle PME$. Так как $\angle FAC = \angle PME$, то стороны $CF$ и $PE$ являются соответственными, а значит, равными.

$CF = PE$

По условию задачи длина отрезка $PE = 15$ см. Следовательно, длина отрезка $CF$ также равна 15 см.

Ответ: 15 см.

478. Начертите отрезок $CD$, длина которого равна $4 \text{ см}$. Найдите точку, удалённую от точки $C$ на $2,5 \text{ см}$, а от точки $D$ – на $3,5 \text{ см}$. Сколько существует таких точек?