Номер 475, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 475, страница 124.

475. Отрезок $AM$ – медиана треугольника $ABC$, $\angle CAM > \angle BAM$. Докажите, что $AB > AC$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный отрезку $AM$, и соединим точку $D$ с точкой $C$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle DMC$.

В этих треугольниках:

1. $AM = MD$ по построению.

2. $BM = MC$ по определению медианы.

3. $\angle AMB = \angle DMC$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AMB = \triangle DMC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны: $AB = DC$ и $\angle BAM = \angle MDC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи $\angle CAM > \angle BAM$. Так как мы доказали, что $\angle BAM = \angle MDC$ (или $\angle ADC$), то для углов треугольника $ACD$ справедливо неравенство: $\angle CAD > \angle ADC$.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ACD$ сторона $DC$ лежит против угла $\angle CAD$, а сторона $AC$ лежит против угла $\angle ADC$. Так как $\angle CAD > \angle ADC$, то и сторона $DC$ больше стороны $AC$, то есть $DC > AC$.

Поскольку из равенства треугольников $\triangle AMB$ и $\triangle DMC$ следует, что $AB = DC$, мы можем заменить в последнем неравенстве $DC$ на $AB$ и получить $AB > AC$.

Таким образом, требуемое утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $AB > AC$.

475. Разрежьте треугольник на четыре части так, чтобы, перевернув три из них, можно было сложить треугольник, равный данному.