Номер 470, страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 470, страница 124.

470. В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой. На продолжении стороны $AB$ за точку $A$ отметили произвольную точку $D$. Докажите, что $CD > AC$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Для доказательства неравенства $CD > AC$ воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника, которая гласит, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Таким образом, нам необходимо доказать, что угол, противолежащий стороне $CD$ (то есть $\angle CAD$), больше угла, противолежащего стороне $AC$ (то есть $\angle ADC$).

1. Углы $\angle CAB$ и $\angle CAD$ являются смежными, так как по условию точка $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, а значит точки $D$, $A$, $B$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle CAD + \angle CAB = 180^\circ$

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $\angle B$ (или $\angle ABC$) — тупой, то есть $\angle ABC > 90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма двух других углов, $\angle CAB$ и $\angle ACB$, равна:

$\angle CAB + \angle ACB = 180^\circ - \angle ABC$

Поскольку $\angle ABC > 90^\circ$, то $180^\circ - \angle ABC < 90^\circ$. Следовательно, $\angle CAB + \angle ACB < 90^\circ$. Это означает, что оба угла, $\angle CAB$ и $\angle ACB$, являются острыми. В частности, $\angle CAB < 90^\circ$.

3. Вернемся к равенству для смежных углов: $\angle CAD = 180^\circ - \angle CAB$. Так как $\angle CAB$ — острый угол ($\angle CAB < 90^\circ$), то угол $\angle CAD$ будет тупым:

$\angle CAD > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

4. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. В нем угол $\angle CAD$ является тупым. Так как в любом треугольнике может быть не более одного тупого или прямого угла, два других угла, $\angle ADC$ и $\angle ACD$, обязаны быть острыми. В частности, $\angle ADC < 90^\circ$.

5. Сравнивая углы $\angle CAD$ и $\angle ADC$ в треугольнике $ADC$, мы видим, что $\angle CAD > 90^\circ$ и $\angle ADC < 90^\circ$, откуда очевидно следует, что $\angle CAD > \angle ADC$.

6. Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, в треугольнике $ADC$ сторона, лежащая против большего угла $\angle CAD$ (это сторона $CD$), больше стороны, лежащей против меньшего угла $\angle ADC$ (это сторона $AC$). Таким образом, $CD > AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $CD > AC$ доказано.

470. В треугольнике $MKE$ известно, что $\angle K = 90^\circ$, $\angle E = 30^\circ$, $KE = 12$ см.

Найдите биссектрису $MC$ треугольника.