Номер 463, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 463, страница 123.

463. Длины двух сторон треугольника равны 7 см и 9 см. Может ли периметр этого треугольника быть равным:

1) 20 см?

2) 32 см?

3) 18 см?

Для решения этой задачи воспользуемся правилом, известным как неравенство треугольника: любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон.

Пусть даны две стороны треугольника: $a = 7$ см и $b = 9$ см. Обозначим третью, неизвестную сторону как $c$.

Согласно неравенству треугольника, должны выполняться три условия:

1. $c < a + b$
2. $a < c + b$
3. $b < c + a$

Подставим известные значения:

1. $c < 7 + 9 \implies c < 16$
2. $7 < c + 9 \implies c > 7 - 9 \implies c > -2$. Это условие всегда выполняется, так как длина стороны положительна.
3. $9 < c + 7 \implies c > 9 - 7 \implies c > 2$

Объединив условия, получаем, что длина третьей стороны $c$ должна находиться в интервале от 2 см до 16 см (не включая концы):

$2 < c < 16$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c = 7 + 9 + c = 16 + c$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов периметра.

1) 20 см

Если периметр $P = 20$ см, найдем длину третьей стороны $c$:

$c = P - (a + b) = 20 - (7 + 9) = 20 - 16 = 4$ см.

Полученное значение $c = 4$ см удовлетворяет условию $2 < 4 < 16$. Следовательно, такой треугольник может существовать.

Ответ: да, может.

2) 32 см

Если периметр $P = 32$ см, найдем длину третьей стороны $c$:

$c = P - (a + b) = 32 - (7 + 9) = 32 - 16 = 16$ см.

Полученное значение $c = 16$ см не удовлетворяет условию $c < 16$. В этом случае сумма двух сторон ($7+9$) равна третьей стороне ($16$), и треугольник "вырождается" в прямую линию.

Ответ: нет, не может.

3) 18 см

Если периметр $P = 18$ см, найдем длину третьей стороны $c$:

$c = P - (a + b) = 18 - (7 + 9) = 18 - 16 = 2$ см.

Полученное значение $c = 2$ см не удовлетворяет условию $c > 2$. В этом случае сумма двух сторон ($7+2$) равна третьей стороне ($9$), и треугольник также "вырождается" в прямую линию.

Ответ: нет, не может.

463. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $CD$ – высота, $BD = 7$ см. Найдите гипотенузу $AB$.