Номер 2, страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 17. Неравенства, связанные с элементами треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 2, страница 123.

2. Сформулируйте теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.

Основная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника утверждает, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Более формально, для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, это означает, что сторона $a$ больше стороны $b$ тогда и только тогда, когда угол $\alpha$ больше угла $\beta$. Это можно записать в виде эквивалентности: $a > b \Leftrightarrow \alpha > \beta$. Аналогичные соотношения верны и для других пар сторон и углов.

Из этой теоремы следуют важные выводы:

Следствие 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, так как они лежат против равных боковых сторон. Верно и обратное: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Следствие 2: В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов, так как она лежит против наибольшего угла ($90^\circ$).

Следствие 3: В тупоугольном треугольнике наибольшей является сторона, лежащая против тупого угла.

Помимо этой основной качественной теоремы, существуют и другие, которые количественно описывают связь между сторонами и углами треугольника. Наиболее известными являются теорема синусов и теорема косинусов.

Теорема синусов устанавливает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной около треугольника окружности ($2R$).
Формула: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

Теорема косинусов (обобщение теоремы Пифагора) утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Формулы:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Ответ: Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника гласит: в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона. Если $a$ и $b$ – стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ – противолежащие им углы, то соотношение $a > b$ эквивалентно соотношению $\alpha > \beta$.