Номер 456, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 456, страница 120.

456. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $O$ так, что $\angle OAC = \angle OCA$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $OAC$. По условию задачи дано, что углы при основании $AC$ этого треугольника равны: $\angle OAC = \angle OCA$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $OAC$ — равнобедренный, а значит его боковые стороны равны: $OA = OC$.

Теперь сравним треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCM$.

В этих треугольниках:

• сторона $OA$ равна стороне $OC$ (согласно доказанному выше);
• сторона $AM$ равна стороне $MC$ (так как $BM$ — медиана по условию задачи, а медиана делит сторону пополам);
• сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCM$ равны между собой по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. В частности, равны углы, лежащие против равных сторон $OA$ и $OC$. Это углы $\angle OMA$ и $\angle OMC$.

Углы $\angle OMA$ и $\angle OMC$ являются смежными, так как они имеют общую вершину $M$, общую сторону $OM$, а две другие стороны $MA$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Поскольку $\angle OMA = \angle OMC$ и $\angle OMA + \angle OMC = 180^\circ$, то каждый из этих углов равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Это означает, что отрезок $OM$ перпендикулярен стороне $AC$. Так как точка $O$ лежит на медиане $BM$, то и вся прямая $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, медиана $BM$ в треугольнике $ABC$ является также его высотой.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, если в треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, является также и высотой, то такой треугольник — равнобедренный.

Ответ: Так как медиана $BM$ треугольника $ABC$ является и его высотой, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

456. Можно ли замостить плоскость фигурами, изображёнными на рисунке 267?

Рис. 266

Рис. 267