Номер 457, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 457, страница 120.

457. Существует ли шестиугольник, у которого никакие две диагонали не имеют общих точек, отличных от вершин?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть различные конфигурации шестиугольника. Под «шестиугольником» будем понимать простой (несамопересекающийся) многоугольник с шестью вершинами. Условие задачи гласит, что никакие две диагонали не должны иметь общих точек, кроме вершин.

Докажем, что такого шестиугольника не существует, методом от противного. Предположим, что такой шестиугольник существует. Обозначим его вершины в порядке обхода $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$.

Рассмотрим выпуклую оболочку этих шести вершин. Выпуклая оболочка — это наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все шесть вершин. Вершинами выпуклой оболочки может быть от трёх до шести вершин исходного шестиугольника. Разберём все возможные случаи.

1. Выпуклая оболочка является шестиугольником.

В этом случае сам шестиугольник является выпуклым. В любом выпуклом шестиугольнике $V_1V_2V_3V_4V_5V_6$ диагонали, соединяющие вершины через две, например $V_1V_4$ и $V_2V_5$, всегда пересекаются внутри шестиугольника. Точка их пересечения не является вершиной. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Выпуклая оболочка является пятиугольником.

Пусть вершины выпуклой оболочки — это $A, B, C, D, E$, а шестая вершина $F$ находится внутри этого пятиугольника. Чтобы образовать простой шестиугольник, его вершины должны быть соединены в определённом порядке. Без ограничения общности, пусть порядок вершин шестиугольника таков: $A-B-C-F-D-E-A$. Рассмотрим диагонали $BD$ и $CE$ этого шестиугольника (они являются диагоналями, так как не соединяют соседние вершины в указанной последовательности). Эти две диагонали также являются диагоналями выпуклого пятиугольника $ABCDE$ и, следовательно, пересекаются внутри него. Эта точка пересечения не является вершиной. Следовательно, этот случай также невозможен.

3. Выпуклая оболочка является четырёхугольником.

Пусть вершины выпуклой оболочки — $A, B, C, D$, а две оставшиеся вершины $E$ и $F$ находятся внутри. Чтобы сформировать простой шестиугольник, можно соединить вершины, например, в порядке $A-E-B-C-F-D-A$. Рассмотрим диагонали $AC$ и $BD$. Они являются диагоналями шестиугольника (соседи $A$ — это $D$ и $E$; соседи $C$ — это $B$ и $F$). В то же время $AC$ и $BD$ — это диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$, и они обязаны пересекаться внутри него. Эта точка пересечения не является вершиной. Следовательно, и этот случай невозможен.

4. Выпуклая оболочка является треугольником.

Пусть вершины выпуклой оболочки — $A, B, C$, а остальные три вершины $D, E, F$ находятся внутри треугольника $\triangle ABC$. Чтобы шестиугольник был простым, его граница должна поочередно проходить через вершины на выпуклой оболочке и внутренние вершины. Единственный возможный порядок (с точностью до симметрии) — это $A-D-B-E-C-F-A$.

Рассмотрим две диагонали этого шестиугольника: $AE$ и $BF$.

• Отрезок $AE$ является диагональю, так как соседи вершины $A$ в шестиугольнике — это $F$ и $D$, а соседи вершины $E$ — это $B$ и $C$.
• Отрезок $BF$ является диагональю, так как соседи вершины $B$ — это $D$ и $E$, а соседи вершины $F$ — это $C$ и $A$.

Вершины $A$ и $B$ лежат на границе выпуклой оболочки ($\triangle ABC$), а точки $E$ и $F$ находятся строго внутри неё. Прямая, проходящая через точки $A$ и $E$, пересекает сторону $BC$ треугольника. Таким образом, эта прямая разделяет плоскость так, что вершины $B$ и $C$ оказываются в разных полуплоскостях. Точка $F$ находится внутри $\triangle ABC$. Предположим, $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AE$, что и вершина $C$. Тогда вершина $B$ и точка $F$ лежат в разных полуплоскостях. Следовательно, отрезок $BF$ пересекает прямую $AE$. Поскольку вся конструкция находится внутри $\triangle ABC$, точка пересечения отрезков $AE$ и $BF$ будет лежать внутри треугольника и не будет совпадать ни с одной из вершин. Таким образом, эти две диагонали пересекаются в точке, отличной от вершины. Этот случай также невозможен.

Мы рассмотрели все возможные случаи расположения вершин шестиугольника и в каждом из них пришли к противоречию с условием задачи. Следовательно, такого шестиугольника не существует.

Примечание: Если допустить самопересекающиеся шестиугольники, то ответ будет другим. Например, вершины правильной гексаграммы (шестиконечной звезды) образуют самопересекающийся шестиугольник, у которого диагонали не пересекаются. Однако в классической геометрии под многоугольником обычно понимают простой многоугольник.

Ответ: Нет, не существует.

457. Стороны прямоугольного треугольника равны $24 \text{ см}$, $10 \text{ см}$ и $26 \text{ см}$.
Чему равен наибольший катет данного треугольника?