Номер 451, страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 451, страница 120.

451. Найдите углы треугольника $ABC$, если биссектриса угла $B$ разбивает его на два равнобедренных треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$ угла $B$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$. По условию, оба этих треугольника являются равнобедренными.

Обозначим $\angle ABD = \angle DBC = \beta$. Тогда $\angle B = 2\beta$. Пусть $\angle A = \alpha$ и $\angle C = \gamma$. Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $\alpha + 2\beta + \gamma = 180^\circ$.

В равнобедренных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$ сторона $BD$ является общей. Можно доказать, что в каждом из этих треугольников одной из равных сторон должна быть сторона $BD$. Это приводит к двум основным возможным случаям (и одному симметричному ему), которые мы и рассмотрим.

Случай 1: Равные стороны в малых треугольниках примыкают к вершине D ($AD=BD$ и $CD=BD$)

Если в $\triangle ABD$ стороны $AD=BD$, то углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle ABD = \beta$.

Если в $\triangle BDC$ стороны $CD=BD$, то углы при основании $BC$ равны: $\angle C = \angle DBC = \beta$.

Таким образом, углы треугольника $ABC$ выражаются через $\beta$: $\angle A = \beta$, $\angle B = 2\beta$, $\angle C = \beta$.

Сумма углов треугольника $ABC$ должна быть равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\beta + 2\beta + \beta = 180^\circ$

$4\beta = 180^\circ$

$\beta = 45^\circ$

Находим углы треугольника $ABC$:

• $\angle A = 45^\circ$
• $\angle B = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$
• $\angle C = 45^\circ$

В этом случае треугольник $ABC$ является прямоугольным и равнобедренным.

Ответ: углы треугольника равны $45^\circ, 90^\circ, 45^\circ$.

Случай 2: В одном треугольнике равные стороны примыкают к D, в другом - к B ($AD=BD$ и $BC=BD$)

Если в $\triangle ABD$ стороны $AD=BD$, то, как и в первом случае, $\angle A = \angle ABD = \beta$.

Если в $\triangle BDC$ стороны $BC=BD$, то углы при основании $DC$ равны: $\angle C = \angle BDC$.

Сумма углов в $\triangle BDC$: $\angle C + \angle DBC + \angle BDC = 180^\circ$. Подставляя $\angle DBC = \beta$ и $\angle BDC = \angle C$, получаем:

$\angle C + \beta + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle C + \beta = 180^\circ$

Теперь воспользуемся свойством о сумме углов для всего треугольника $ABC$. Его углы: $\angle A = \beta$, $\angle B = 2\beta$ и $\angle C$.

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\beta + 2\beta + \angle C = 180^\circ \implies 3\beta + \angle C = 180^\circ$

Получили систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} 2\angle C + \beta = 180^\circ \\ 3\beta + \angle C = 180^\circ \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\beta = 180^\circ - 2\angle C$ и подставим во второе:

$3(180^\circ - 2\angle C) + \angle C = 180^\circ$

$540^\circ - 6\angle C + \angle C = 180^\circ$

$540^\circ - 5\angle C = 180^\circ$

$5\angle C = 360^\circ$

$\angle C = 72^\circ$

Тогда $\beta = 180^\circ - 2(72^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.

Находим углы треугольника $ABC$:

• $\angle A = \beta = 36^\circ$
• $\angle B = 2\beta = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$
• $\angle C = 72^\circ$

Симметричный случай ($AB=BD$ и $CD=BD$) даст тот же набор углов, но с $\angle A = 72^\circ$ и $\angle C = 36^\circ$. В обоих вариантах набор углов в треугольнике один и тот же.

Ответ: углы треугольника равны $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

451. Можно ли утверждать, что если две стороны и высота, проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне, другого треугольника, то эти треугольники равны?