Номер 448, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 448, страница 119.

448. Определите вид треугольника, если сумма любых двух его углов больше $90^\circ$.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Это можно записать в виде формулы: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Из этой формулы можно выразить сумму любых двух углов через третий угол:

$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$
$\alpha + \gamma = 180^\circ - \beta$
$\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$

Согласно условию задачи, сумма любых двух углов этого треугольника больше $90^\circ$. Запишем это в виде системы неравенств:

1) $\alpha + \beta > 90^\circ$
2) $\alpha + \gamma > 90^\circ$
3) $\beta + \gamma > 90^\circ$

Теперь подставим в каждое неравенство соответствующее выражение для суммы углов, чтобы найти ограничение для каждого угла в отдельности.

Для первого неравенства: $180^\circ - \gamma > 90^\circ$
Вычитая $90^\circ$ из обеих частей и прибавляя $\gamma$ к обеим частям, получаем:
$180^\circ - 90^\circ > \gamma$
$90^\circ > \gamma$, что то же самое, что и $\gamma < 90^\circ$.

Для второго неравенства: $180^\circ - \beta > 90^\circ$
Проводя аналогичные преобразования, получаем:
$180^\circ - 90^\circ > \beta$
$90^\circ > \beta$, или $\beta < 90^\circ$.

Для третьего неравенства: $180^\circ - \alpha > 90^\circ$
И снова, проводя те же преобразования, получаем:
$180^\circ - 90^\circ > \alpha$
$90^\circ > \alpha$, или $\alpha < 90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что все три угла треугольника ($\alpha, \beta, \gamma$) меньше $90^\circ$. Треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше $90^\circ$), по определению является остроугольным.

Ответ: Треугольник остроугольный.

448. Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$. Докажите, что точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.