Номер 441, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 441, страница 119.

441. В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите $\angle AOC$, если $\angle B = 100^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

По условию задачи $\angle B = 100^\circ$. Найдем сумму углов $A$ и $C$:
$\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

$AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно. Это означает, что они делят эти углы пополам. Рассмотрим треугольник $AOC$. Углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ в этом треугольнике равны:
$\angle OAC = \frac{1}{2}\angle A$
$\angle OCA = \frac{1}{2}\angle C$

Сумма углов в треугольнике $AOC$ также равна $180^\circ$:
$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$:
$\angle AOC + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$
$\angle AOC + \frac{1}{2}(\angle A + \angle C) = 180^\circ$.

Так как мы уже нашли, что $\angle A + \angle C = 80^\circ$, подставим это значение в уравнение:
$\angle AOC + \frac{1}{2}(80^\circ) = 180^\circ$
$\angle AOC + 40^\circ = 180^\circ$
$\angle AOC = 180^\circ - 40^\circ$
$\angle AOC = 140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$.

441. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведённой из вершины прямого угла.