Номер 443, страница 119 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 443, страница 119.

443. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. Продлим сторону $CA$ за вершину $A$ до точки $D$. Угол $\angle DAB$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $A$.

Проведем биссектрису $AE$ этого внешнего угла. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle DAB$ на два равных угла:

$\angle DAE = \angle EAB$ (1)

По условию задачи, биссектриса $AE$ параллельна стороне $BC$ треугольника, то есть $AE \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AE$ и $BC$ и пересекающие их секущие.

Секущая $AB$ образует с параллельными прямыми равные накрест лежащие углы: $\angle EAB = \angle ABC$ (2).

Секущая $DC$ (содержащая сторону $AC$) образует с параллельными прямыми равные соответственные углы: $\angle DAE = \angle ACB$ (3).

Сопоставив равенства (1), (2) и (3), мы получаем: $\angle ABC = \angle EAB = \angle DAE = \angle ACB$.

Отсюда следует, что в треугольнике $ABC$ два угла равны: $\angle ABC = \angle ACB$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. В данном случае, так как углы при основании $BC$ равны, то противолежащие им стороны равны: $AB = AC$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

443. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведённой к другому катету.