Номер 436, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 436, страница 118.

436. На рисунке 286 $BC \parallel AD$, $\angle A = 25^\circ$, $\angle B = 55^\circ$. Найдите угол $CMD$.

Рис. 286

По условию задачи известно, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Также даны углы $\angle CAD = 25^{\circ}$ и $\angle CBD = 55^{\circ}$. Требуется найти угол $\angle CMD$.

Для нахождения угла $\angle CMD$ рассмотрим треугольник $\triangle CMD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Чтобы найти $\angle CMD$, нам необходимо определить два других угла этого треугольника: $\angle MCD$ и $\angle MDC$.

1. Поскольку прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а прямая $AC$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны.
$\angle BCA = \angle CAD = 25^{\circ}$.
Угол $\angle MCD$ является частью угла $\angle BCA$ и совпадает с ним, поэтому $\angle MCD = 25^{\circ}$.

2. Аналогично, поскольку прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а прямая $BD$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ равны.
$\angle BDA = \angle CBD = 55^{\circ}$.
Угол $\angle MDC$ является частью угла $\angle BDA$ и совпадает с ним, поэтому $\angle MDC = 55^{\circ}$.

3. Теперь, зная два угла треугольника $\triangle CMD$, мы можем найти третий. Исходя из теоремы о сумме углов треугольника:
$\angle CMD + \angle MCD + \angle MDC = 180^{\circ}$.
Подставим известные значения:
$\angle CMD + 25^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CMD + 80^{\circ} = 180^{\circ}$.
Выразим искомый угол:
$\angle CMD = 180^{\circ} - 80^{\circ}$.
$\angle CMD = 100^{\circ}$.

Ответ: $100^{\circ}$

436. На биссектрисе угла с вершиной в точке $B$ отметили точку $M$, из которой опустили перпендикуляры $MD$ и $MC$ на стороны угла. Докажите, что $MD = MC$.