Страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

425. Один из внешних углов треугольника равен $136^\circ$, а один из углов треугольника – $61^\circ$. Найдите неизвестный угол треугольника, не смежный с данным внешним.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

По условию, внешний угол треугольника равен $136^\circ$. Один из внутренних углов, не смежных с этим внешним углом, равен $61^\circ$. Обозначим искомый, второй не смежный с внешним, угол как $x$.

Согласно теореме о внешнем угле, мы можем составить уравнение:

$x + 61^\circ = 136^\circ$

Чтобы найти $x$, необходимо вычесть $61^\circ$ из $136^\circ$:

$x = 136^\circ - 61^\circ$

$x = 75^\circ$

Таким образом, неизвестный угол треугольника, не смежный с данным внешним, равен $75^\circ$.

Альтернативный способ решения:

1. Найдем внутренний угол треугольника, смежный с данным внешним углом. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$

2. Теперь известны два внутренних угла треугольника: $44^\circ$ (смежный с внешним) и $61^\circ$ (данный в условии). Сумма всех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем третий, искомый угол (обозначим его $y$):

$y + 44^\circ + 61^\circ = 180^\circ$

$y + 105^\circ = 180^\circ$

$y = 180^\circ - 105^\circ$

$y = 75^\circ$

Этот угол и является искомым, так как он не смежен с внешним углом в $136^\circ$.

Ответ: $75^\circ$

425. С помощью транспортира и линейки постройте равнобедренный прямоугольный треугольник:

1) с катетом, равным 5 см;

2) с гипотенузой, равной 4 см.

426. Один из внешних углов треугольника равен 154°. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов на 28° больше другого.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Пусть один из углов треугольника, не смежных с данным внешним углом, равен $x$. По условию, другой угол на $28^{\circ}$ больше, следовательно, он равен $x + 28^{\circ}$.

Сумма этих двух углов равна величине внешнего угла, то есть $154^{\circ}$. Составим уравнение:

$x + (x + 28^{\circ}) = 154^{\circ}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 28^{\circ} = 154^{\circ}$

Перенесем $28^{\circ}$ в правую часть уравнения:

$2x = 154^{\circ} - 28^{\circ}$

$2x = 126^{\circ}$

Найдем $x$:

$x = \frac{126^{\circ}}{2}$

$x = 63^{\circ}$

Итак, мы нашли меньший из двух углов. Он равен $63^{\circ}$.

Теперь найдем второй, больший угол:

$x + 28^{\circ} = 63^{\circ} + 28^{\circ} = 91^{\circ}$

Таким образом, искомые углы треугольника равны $63^{\circ}$ и $91^{\circ}$.

Ответ: $63^{\circ}$ и $91^{\circ}$.

426. На рисунке 260 изображён треугольник $MKE$ с прямым углом при вершине $K$. Укажите:

1) катеты и гипотенузу треугольника;

2) катет, прилежащий к углу $E$;

3) катет, противолежащий углу $M$.

Рис. 260

427. Один из внешних углов треугольника равен $98^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов в 6 раз меньше другого.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внешний угол равен $98^\circ$. Нам нужно найти два внутренних угла, сумма которых равна $98^\circ$.

Пусть один из этих углов (меньший) равен $x$. По условию задачи, другой угол в 6 раз больше, следовательно, его величина составляет $6x$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма этих двух углов равна внешнему углу:

$x + 6x = 98$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$7x = 98$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{98}{7}$

$x = 14^\circ$

Таким образом, мы нашли величину меньшего угла. Он равен $14^\circ$.

Теперь найдем величину второго, большего угла:

$6x = 6 \cdot 14^\circ = 84^\circ$

Проверим: $14^\circ + 84^\circ = 98^\circ$. Условие задачи выполняется.

Ответ: искомые углы треугольника равны $14^\circ$ и $84^\circ$.

427. На рисунке 261 $AD$ – высота треугольника $ABC$. Найдите на этом рисунке прямоугольные треугольники, укажите в каждом из них катеты и гипотенузу.

Рис. 261

428. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при его вершине равен $38^\circ$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим каждый из углов при основании через $\alpha$, а угол при вершине — через $\beta$.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В условии сказано, что внешний угол при вершине равен $38^\circ$. Этот внешний угол не смежен с двумя углами при основании. Следовательно, сумма углов при основании равна величине этого внешнего угла.

Составим уравнение:

$\alpha + \alpha = 38^\circ$

$2\alpha = 38^\circ$

Отсюда находим величину угла при основании:

$\alpha = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$

Таким образом, в треугольнике есть два угла по $19^\circ$.

Сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - (\alpha + \alpha)$

$\beta = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$

Итак, углы треугольника равны $19^\circ$, $19^\circ$ и $142^\circ$.

Ответ: 19°, 19°, 142°.

428. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $43^\circ$. Найдите второй острый угол.

429. Известно, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Найдите углы этого треугольника, если его внешний угол при вершине $A$ равен $115^\circ$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Внешний угол треугольника при какой-либо вершине является смежным с внутренним углом при этой же вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Внешний угол при вершине $A$ равен $115^\circ$. Найдем внутренний угол при вершине $A$ (угол $\angle BAC$):
$\angle BAC = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

Так как углы при основании равны, то угол $\angle BCA$ также равен $65^\circ$:
$\angle BCA = \angle BAC = 65^\circ$.

Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Теперь мы можем найти угол при вершине $B$ (угол $\angle ABC$):
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA)$
$\angle ABC = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ)$
$\angle ABC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $65^\circ$, $65^\circ$ и $50^\circ$.

429. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) проведена высота $AH$. Найдите угол $CAH$, если $\angle B = 76^\circ$.

430. Докажите, что если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников равны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — два треугольника.
По условию, два угла одного треугольника равны двум углам другого. Пусть это будут углы:
$\angle A = \angle A_1$
$\angle B = \angle B_1$

Доказать:
Третьи углы этих треугольников равны, то есть $\angle C = \angle C_1$.

Доказательство:
1. Запишем формулу суммы углов для треугольника $\triangle ABC$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
Выразим из этой формулы третий угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

2. Аналогично запишем формулу суммы углов для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:
$\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$
Выразим из этой формулы третий угол $\angle C_1$:
$\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$

3. Из условия задачи мы знаем, что $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Сравним выражения для $\angle C$ и $\angle C_1$. Так как правые части выражений состоят из равных величин ($180^\circ$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$), то сами выражения равны.
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
$\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
Отсюда следует, что $\angle C = \angle C_1$.

Утверждение доказано.

Ответ: Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то их третьи углы также равны, что следует из теоремы о сумме углов треугольника.

430. Угол между основанием равнобедренного треугольника и высотой, проведённой к боковой стороне, равен 19°. Найдите углы данного треугольника.

431. На сторонах треугольника ABC (рис. 284) отметили точки E и F так, что $∠1 = ∠2$. Докажите, что $∠3 = ∠4$.

Рис. 284

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $AEFC$. По условию задачи дано, что $\angle 1 = \angle 2$, то есть $\angle EAC = \angle EFC$.

Углы $\angle EAC$ и $\angle EFC$ опираются на один и тот же отрезок $EC$. Поскольку вершины этих углов, точки $A$ и $F$, лежат по одну сторону от прямой $EC$, и величины углов равны, то по признаку вписанного четырехугольника, точки $A, E, F, C$ лежат на одной окружности. Таким образом, четырехугольник $AEFC$ является вписанным.

В вписанном четырехугольнике углы, которые опираются на одну и ту же дугу (или хорду), равны. Рассмотрим хорду $AF$. На эту хорду опираются вписанные углы $\angle ACF$ (угол $\angle 3$) и $\angle AEF$ (угол $\angle 4$).

Следовательно, $\angle ACF = \angle AEF$, а это означает, что $\angle 3 = \angle 4$.

Ответ: Равенство $\angle 3 = \angle 4$ доказано.

431. На рисунке 262 $AB \perp BC$, $CD \perp BC$, $AC = BD$. Докажите, что $AB = CD$.

432. На рисунке 285 $AD = BC$, $\angle A = \angle C$. Докажите, что $\triangle AOD = \triangle COB$.

Рис. 285

Рассмотрим треугольники $ \Delta AOD $ и $ \Delta COB $.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие равенства:

• $ AD = BC $ (сторона)
• $ \angle A = \angle C $, что для данных треугольников означает $ \angle DAO = \angle BCO $ (угол).

Кроме того, углы $ \angle AOD $ и $ \angle COB $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $ AC $ и $ BD $. По свойству вертикальных углов, они равны:

$ \angle AOD = \angle COB $ (угол).

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла в каждом треугольнике, мы можем найти третьи углы:

В треугольнике $ \Delta AOD $: $ \angle ADO = 180^\circ - \angle DAO - \angle AOD $.

В треугольнике $ \Delta COB $: $ \angle CBO = 180^\circ - \angle BCO - \angle COB $.

Поскольку $ \angle DAO = \angle BCO $ и $ \angle AOD = \angle COB $, то правые части этих выражений равны, а значит, равны и левые части:

$ \angle ADO = \angle CBO $.

Теперь у нас есть все элементы для доказательства равенства треугольников $ \Delta AOD $ и $ \Delta COB $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

• Сторона $ AD $ равна стороне $ BC $ (по условию).
• Угол $ \angle DAO $, прилежащий к стороне $AD$, равен углу $ \angle BCO $, прилежащему к стороне $BC$.
• Угол $ \angle ADO $, прилежащий к стороне $AD$, равен углу $ \angle CBO $, прилежащему к стороне $BC$.

Следовательно, треугольники равны: $ \Delta AOD = \Delta COB $.

Ответ: Доказано, что $ \Delta AOD = \Delta COB $.

432. На рисунке 263 $MO = FO$, $\angle MEO = \angle FKO = 90^\circ$. Докажите, что $\triangle MEO = \triangle FKO$.

Рис. 263

Рис. 264

433. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен:
1) $54^\circ$;
2) $112^\circ$.
Сколько решений имеет задача?

Пусть углы равнобедренного треугольника равны $\alpha, \alpha, \beta$, где $\alpha$ - углы при основании, а $\beta$ - угол при вершине. Сумма углов треугольника равна $2\alpha + \beta = 180^\circ$. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$.

1) Внешний угол равен $54^\circ$

Смежный с ним внутренний угол равен $180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$. Так как этот угол тупой (больше $90^\circ$), он не может быть углом при основании, поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов. Следовательно, это угол при вершине.

Таким образом, угол при вершине $\beta = 126^\circ$.

Найдем углы при основании $\alpha$ из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$2\alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 126^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 126^\circ$

$2\alpha = 54^\circ$

$\alpha = 27^\circ$

Углы треугольника равны $27^\circ, 27^\circ, 126^\circ$. Для этого случая существует только одно решение.

Ответ: $27^\circ, 27^\circ, 126^\circ$.

2) Внешний угол равен $112^\circ$

Смежный с ним внутренний угол равен $180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Так как этот угол острый (меньше $90^\circ$), он может быть как углом при основании, так и углом при вершине. Рассмотрим оба случая.

Случай А: Угол $68^\circ$ – это угол при основании ($\alpha$).

Тогда один угол при основании $\alpha = 68^\circ$, значит и второй угол при основании равен $68^\circ$.

Найдем угол при вершине $\beta$:

$\beta = 180^\circ - (68^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

В этом случае углы треугольника: $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$.

Случай Б: Угол $68^\circ$ – это угол при вершине ($\beta$).

Тогда $\beta = 68^\circ$.

Найдем углы при основании $\alpha$:

$2\alpha + 68^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 68^\circ$

$2\alpha = 112^\circ$

$\alpha = 56^\circ$

В этом случае углы треугольника: $56^\circ, 56^\circ, 68^\circ$.

Для этого случая существует два решения.

Ответ: $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$ или $56^\circ, 56^\circ, 68^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Задача состоит из двух пунктов. Первый пункт (внешний угол $54^\circ$) имеет одно решение. Второй пункт (внешний угол $112^\circ$) имеет два решения. Всего задача имеет $1+2=3$ различных набора углов в качестве решения.

Ответ: Задача имеет 3 решения.

433. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $a$, опущены перпендикуляры $AM$ и $BK$ на эту прямую, $AM = BK$.

Докажите, что $AK = BM$.

434. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 130°. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

Найдите углы треугольника.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два возможных случая, так как в условии не указано, при какой вершине равнобедренного треугольника расположен внешний угол.

Случай 1: Внешний угол смежен с углом при основании.

Сумма внутреннего угла треугольника и смежного с ним внешнего угла составляет $ 180^\circ $. Найдем величину внутреннего угла при основании:
$ 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в треугольнике два угла по $ 50^\circ $.

Сумма всех углов в треугольнике равна $ 180^\circ $. Найдем третий угол, который является углом при вершине:
$ 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ $

Таким образом, в первом случае углы треугольника равны $ 50^\circ, 50^\circ $ и $ 80^\circ $.
Ответ: $ 50^\circ, 50^\circ, 80^\circ $.

Случай 2: Внешний угол смежен с углом при вершине, противолежащей основанию.

Найдем величину внутреннего угла при вершине:
$ 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $

Сумма двух других углов (углов при основании) будет равна:
$ 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $

Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то каждый из них равен половине их суммы:
$ 130^\circ / 2 = 65^\circ $

Таким образом, во втором случае углы треугольника равны $ 65^\circ, 65^\circ $ и $ 50^\circ $.
Ответ: $ 65^\circ, 65^\circ, 50^\circ $.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы рассмотрели два возможных и различных случая, которые оба удовлетворяют условию задачи, то задача имеет два решения.
Ответ: 2.

434. На рисунке 264 $AB = CD$, $AB \parallel CD$, $BM \perp AC$, $DK \perp AC$. Докажите, что $BM = DK$.

Рис. 264

435. Биссектрисы углов при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что угол $AOC$ равен внешнему углу треугольника $ABC$ при вершине $A$.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$, то есть $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

По условию, $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Биссектриса делит угол пополам, поэтому:
$\angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{\alpha}{2}$
$\angle OCA = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{\alpha}{2}$

Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $AOC$ это записывается так:
$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ$
Подставим в это равенство найденные значения углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$:
$\angle AOC + \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$
$\angle AOC + \alpha = 180^\circ$
Отсюда выразим угол $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - \alpha$

Теперь найдем величину внешнего угла треугольника $ABC$ при вершине $A$. Внешний угол при данной вершине является смежным с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Внутренний угол при вершине $A$ — это $\angle BAC = \alpha$.
Следовательно, внешний угол при вершине $A$ равен:
Внешний угол при A $= 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \alpha$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что угол $\angle AOC$ и внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$ равны одному и тому же значению $180^\circ - \alpha$.
$\angle AOC = 180^\circ - \alpha$
Внешний угол при A $= 180^\circ - \alpha$
Таким образом, $\angle AOC$ равен внешнему углу треугольника $ABC$ при вершине $A$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

435. На рисунке 265 $AB = BC$, $CD \perp AB$, $AE \perp BC$. Докажите, что $BE = BD$.

Рис. 265

436. На рисунке 286 $BC \parallel AD$, $\angle A = 25^\circ$, $\angle B = 55^\circ$. Найдите угол $CMD$.

Рис. 286

По условию задачи известно, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Также даны углы $\angle CAD = 25^{\circ}$ и $\angle CBD = 55^{\circ}$. Требуется найти угол $\angle CMD$.

Для нахождения угла $\angle CMD$ рассмотрим треугольник $\triangle CMD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Чтобы найти $\angle CMD$, нам необходимо определить два других угла этого треугольника: $\angle MCD$ и $\angle MDC$.

1. Поскольку прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а прямая $AC$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны.
$\angle BCA = \angle CAD = 25^{\circ}$.
Угол $\angle MCD$ является частью угла $\angle BCA$ и совпадает с ним, поэтому $\angle MCD = 25^{\circ}$.

2. Аналогично, поскольку прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а прямая $BD$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ равны.
$\angle BDA = \angle CBD = 55^{\circ}$.
Угол $\angle MDC$ является частью угла $\angle BDA$ и совпадает с ним, поэтому $\angle MDC = 55^{\circ}$.

3. Теперь, зная два угла треугольника $\triangle CMD$, мы можем найти третий. Исходя из теоремы о сумме углов треугольника:
$\angle CMD + \angle MCD + \angle MDC = 180^{\circ}$.
Подставим известные значения:
$\angle CMD + 25^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CMD + 80^{\circ} = 180^{\circ}$.
Выразим искомый угол:
$\angle CMD = 180^{\circ} - 80^{\circ}$.
$\angle CMD = 100^{\circ}$.

Ответ: $100^{\circ}$

436. На биссектрисе угла с вершиной в точке $B$ отметили точку $M$, из которой опустили перпендикуляры $MD$ и $MC$ на стороны угла. Докажите, что $MD = MC$.

437. Отрезок $BK$ – биссектриса равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$, $\angle AKB = 105^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

По условию задачи, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle B = \angle C$.

Отрезок BK является биссектрисой угла B, это означает, что он делит угол B на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$.

Пусть $\angle ABK = \angle KBC = x$. Тогда весь угол $\angle B = 2x$. Так как $\angle B = \angle C$, то $\angle C = 2x$ также.

Рассмотрим треугольник BKC. Угол $\angle AKB$ и угол $\angle BKC$ являются смежными, так как точки A, K, C лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle BKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника BKC имеем:

$\angle KBC + \angle C + \angle BKC = 180^\circ$

Подставим известные нам значения и выражения через $x$:

$x + 2x + 75^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ - 75^\circ$

$3x = 105^\circ$

$x = \frac{105^\circ}{3} = 35^\circ$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, мы можем найти все углы треугольника ABC.

$\angle B = 2x = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$.

$\angle C = \angle B = 70^\circ$.

Угол A найдем из суммы углов треугольника ABC:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Ответ: углы треугольника ABC равны $40^\circ$, $70^\circ$ и $70^\circ$.

437. На сторонах угла с вершиной в точке $B$ отметили точки $A$ и $C$ так, что $AB = BC$. Через точки $A$ и $C$ провели прямые, перпендикулярные сторонам $BA$ и $BC$ соответственно, которые пересекаются в точке $O$. Докажите, что луч $BO$ – биссектриса угла $ABC$.