Страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

376. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $AO = BO$, $AC \parallel BD$. Докажите, что $CO = DO$.

Для доказательства равенства отрезков $CO$ и $DO$ рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Сравним эти два треугольника по признаку равенства "по стороне и двум прилежащим к ней углам" (второй признак равенства треугольников, или УСУ).

1. Сторона: По условию задачи дано, что $AO = BO$.

2. Первый прилежащий угол: Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $AB$ и $CD$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOC = \angle BOD$.

3. Второй прилежащий угол: По условию задачи прямые $AC$ и $BD$ параллельны ($AC \parallel BD$). Отрезок $AB$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle OAC$ (также известный как $\angle CAB$) и $\angle OBD$ (также известный как $\angle DBA$) являются внутренними накрест лежащими углами. Согласно свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle OAC = \angle OBD$.

Таким образом, мы имеем, что сторона $AO$ и прилежащие к ней углы $\angle OAC$ и $\angle AOC$ треугольника $\triangle AOC$ соответственно равны стороне $BO$ и прилежащим к ней углам $\angle OBD$ и $\angle BOD$ треугольника $\triangle BOD$.

Следовательно, треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ равны по второму признаку равенства треугольников.
$\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CO$ в треугольнике $\triangle AOC$ является соответствующей стороне $DO$ в треугольнике $\triangle BOD$ (они лежат напротив равных углов $\angle OAC$ и $\angle OBD$ соответственно).
Следовательно, $CO = DO$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $CO = DO$ следует из того, что треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

376. На рисунке 251 укажите треугольники, для которых внешним углом является:

1) угол $AMB$;

2) угол $BMD$.

Рис. 250

Рис. 251

377. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F, $DK \parallel ME$, $DK = ME$.

Докажите, что $\triangle MEF = \triangle DKF$.

Рассмотрим треугольники $ \Delta MEF $ и $ \Delta DKF $. Для того чтобы доказать их равенство, воспользуемся признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Нам дано:

1. Отрезки $ MK $ и $ DE $ пересекаются в точке $ F $.

2. Прямые $ DK $ и $ ME $ параллельны: $ DK \parallel ME $.

3. Отрезки $ DK $ и $ ME $ равны: $ DK = ME $.

Доказательство:

1. Сторона $ ME $ в треугольнике $ \Delta MEF $ равна стороне $ DK $ в треугольнике $ \Delta DKF $ по условию: $ ME = DK $.

2. Так как прямые $ ME $ и $ DK $ параллельны, а отрезок $ MK $ является их секущей, то накрест лежащие углы равны. Следовательно, угол $ \angle FME $ (или $ \angle EMK $) равен углу $ \angle FKD $ (или $ \angle DKM $): $ \angle FME = \angle FKD $. Эти углы прилежат к сторонам $ ME $ и $ DK $ соответственно.

3. Аналогично, так как прямые $ ME $ и $ DK $ параллельны, а отрезок $ DE $ является их секущей, то накрест лежащие углы также равны. Следовательно, угол $ \angle MEF $ (или $ \angle MED $) равен углу $ \angle KDF $ (или $ \angle KDE $): $ \angle MEF = \angle KDF $. Эти углы также прилежат к сторонам $ ME $ и $ DK $.

Таким образом, мы установили, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($ \Delta MEF $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($ \Delta DKF $).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $ \Delta MEF = \Delta DKF $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \Delta MEF $ и $ \Delta DKF $ доказано.

377. Один из внешних углов треугольника равен $75^\circ$. Чему равны:

1) угол треугольника при этой вершине;

2) сумма двух углов треугольника, не смежных с ним?

378. На рисунке 267 $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$. Докажите, что $BC = AD$.

Рис. 266

По условию задачи дан четырехугольник ABCD, в котором противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Такой четырехугольник по определению является параллелограммом. Требуется доказать, что длины противолежащих сторон $BC$ и $AD$ равны.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC. Эта диагональ делит четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Сравним эти два треугольника.

Во-первых, сторона AC является общей для обоих треугольников.

Во-вторых, поскольку $BC \parallel AD$ (по условию), а AC — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны.

В-третьих, поскольку $AB \parallel CD$ (по условию), а AC — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ также равны.

3. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона BC в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BAC$. Сторона AD в $\triangle CDA$ лежит напротив угла $\angle DCA$. Так как $\angle BAC = \angle DCA$, то и соответствующие стороны BC и AD равны.

Следовательно, $BC = AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В четырехугольнике, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$), длины противолежащих сторон равны ($BC = AD$).

378. Может ли внешний угол треугольника быть меньше смежного с ним угла треугольника? В случае положительного ответа укажите вид треугольника.

379. На рисунке 267 $BC = AD, BC \parallel AD$. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 267

Для доказательства проведем в четырехугольнике $ABCD$ диагональ $AC$. Эта диагональ разделяет четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

По условию задачи дано, что $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны, следовательно:

$\angle BCA = \angle CAD$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним их элементы:
• Сторона $BC$ равна стороне $AD$ ($BC = AD$) по условию задачи.
• Угол $\angle BCA$ равен углу $\angle CAD$ ($\angle BCA = \angle CAD$), как было показано выше.
• Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$:

$\angle BAC = \angle DCA$

Данные углы ($\angle BAC$ и $\angle DCA$) являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Поскольку мы доказали, что эти углы равны, то по признаку параллельности прямых (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны) можно сделать вывод, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CD$.

379. Определите вид треугольника, если один из его внешних углов равен смежному с ним углу треугольника.

380. На рисунке 268 $MK \parallel EF$, $ME = EF$, $\angle KMF = 70^\circ$. Найдите угол $MEF$.

Рис. 268

Согласно условию задачи, прямые $MK$ и $EF$ параллельны ($MK \parallel EF$), а прямая $MF$ является их секущей. Углы $\angle KMF$ и $\angle EFM$ — это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей. По свойству параллельных прямых, такие углы равны. Так как дано, что $\angle KMF = 70^{\circ}$, то и $\angle EFM = 70^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MEF$. В условии сказано, что $ME = EF$. Это означает, что $\triangle MEF$ — равнобедренный с основанием $MF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle EMF = \angle EFM$. Поскольку мы уже выяснили, что $\angle EFM = 70^{\circ}$, то и $\angle EMF$ также равен $70^{\circ}$.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^{\circ}$. Для $\triangle MEF$ справедливо равенство: $\angle MEF + \angle EFM + \angle EMF = 180^{\circ}$. Подставим известные нам значения углов: $\angle MEF + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$. Упростив, получаем $\angle MEF + 140^{\circ} = 180^{\circ}$. Отсюда находим искомый угол: $\angle MEF = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.

Ответ: $40^{\circ}$.

380. Один из внешних углов треугольника равен $136^\circ$, а один из углов треугольника, не смежный с ним, – $61^\circ$. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным внешним.

381. Через вершину B треугольника ABC (рис. 269) провели прямую MK, параллельную прямой AC, $ \angle MBA = 42^\circ $, $ \angle CBK = 56^\circ $. Найдите углы треугольника ABC.

Рис. 269

Дано:
Треугольник ABC.
Прямая MK проходит через вершину B.
MK || AC (прямая MK параллельна прямой AC).
$∠MBA = 42°$.
$∠CBK = 56°$.
Найти углы треугольника ABC: $∠A$, $∠B$, $∠C$.

Решение:

1. Угол A треугольника (∠BAC) и угол MBA являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых MK и AC и секущей AB. Согласно свойству параллельных прямых, такие углы равны.
Следовательно, $∠A = ∠MBA = 42°$.

2. Угол C треугольника (∠BCA) и угол CBK являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых MK и AC и секущей BC. Поэтому эти углы также равны.
Следовательно, $∠C = ∠CBK = 56°$.

3. Чтобы найти угол B треугольника (∠ABC), воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
$∠A + ∠B + ∠C = 180°$
Подставим уже известные значения углов A и C:
$42° + ∠B + 56° = 180°$
$∠B + 98° = 180°$
$∠B = 180° - 98°$
$∠B = 82°$

Проверка: Углы ∠MBA, ∠ABC и ∠CBK вместе образуют развернутый угол MK, который равен $180°$.
$∠MBA + ∠ABC + ∠CBK = 42° + 82° + 56° = 180°$.
Расчеты верны.

Ответ: углы треугольника ABC равны $∠A = 42°$, $∠B = 82°$, $∠C = 56°$.

381. Один из внешних углов треугольника равен $154^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов на $28^\circ$ больше другого.

382. Прямая, проведённая через вершину $A$ треугольника $\triangle ABC$ параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной $AC$ угол, равный углу $\angle BAC$. Докажите, что данный треугольник равнобедренный.

Пусть $m$ — прямая, которая проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$ и параллельна его противолежащей стороне $BC$. Таким образом, по определению, $m \parallel BC$.

По условию задачи, угол, который образует прямая $m$ со стороной $AC$, равен углу $BAC$. Для ясности, давайте назовем этот угол $\alpha$. Угол $\alpha$ является одним из углов, образованных пересечением прямой $m$ и прямой, содержащей сторону $AC$.

Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $BC$ и секущую $AC$. Угол $\angle ACB$ и один из углов, образованных прямой $m$ и секущей $AC$, являются внутренними накрест лежащими. Этот угол и есть $\alpha$, так как он находится "внутри" параллельных прямых и по разные стороны от секущей. Из свойства параллельных прямых следует, что внутренние накрест лежащие углы равны:

$\alpha = \angle ACB$

По условию задачи мы знаем, что:

$\alpha = \angle BAC$

Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к выводу, что:

$\angle BAC = \angle ACB$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В этом треугольнике два угла оказались равны: угол при вершине $A$ ($\angle BAC$) и угол при вершине $C$ ($\angle ACB$).

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. При этом стороны, лежащие напротив равных углов, также равны.

В треугольнике $ABC$:

• Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle BAC$.
• Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ACB$.

Поскольку $\angle BAC = \angle ACB$, то и противолежащие им стороны равны:

$AB = BC$

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия задачи и свойств параллельных прямых следует, что углы при основании $AC$ треугольника $ABC$ равны ($\angle BAC = \angle ACB$). По признаку равнобедренного треугольника, это означает, что боковые стороны равны ($AB = BC$), следовательно, треугольник является равнобедренным.

382. Один из внешних углов треугольника равен $98^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов в 6 раз меньше другого.