Страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

358. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание $AC$. Прямая $BD$ пересекает отрезок $AC$ в точке $E$. Докажите, что $AE = EC$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $.

1. По условию задачи, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным с основанием $ AC $. Из этого следует, что его боковые стороны равны: $ AB = CB $.

2. Также по условию, треугольник $ \triangle ADC $ является равнобедренным с основанием $ AC $. Следовательно, его боковые стороны также равны: $ AD = CD $.

3. Сторона $ BD $ является общей для треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $.

Таким образом, треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $ следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют углы при вершине B: $ \angle ABD = \angle CBD $. Поскольку точка E лежит на отрезке BD, то $ \angle ABE = \angle CBE $.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $. Отрезок $ BE $ является биссектрисой угла $ \angle ABC $, так как он делит этот угол на два равных угла $ \angle ABE $ и $ \angle CBE $.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является также медианой и высотой. В нашем случае $ BE $ — биссектриса, проведенная к основанию $ AC $ из вершины $ B $. Следовательно, $ BE $ является медианой треугольника $ \triangle ABC $.

По определению медианы, она делит противоположную сторону пополам. Это означает, что точка $ E $ является серединой отрезка $ AC $.

Из этого следует, что $ AE = EC $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

358. Один из углов треугольника в 3 раза меньше другого угла и на $35^\circ$ меньше третьего. Найдите углы треугольника.

359. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольник.

Для того чтобы пересечение треугольника и четырёхугольника являлось восьмиугольником, одна из этих фигур должна быть невыпуклой. Поскольку любой треугольник является выпуклой фигурой, необходимо использовать невыпуклый (вогнутый) четырёхугольник. Это связано с тем, что пересечение двух выпуклых многоугольников с $n$ и $m$ сторонами может иметь не более $n+m$ сторон. Для выпуклого треугольника ($n=3$) и выпуклого четырёхугольника ($m=4$) максимальное число сторон в их пересечении равно $3+4=7$.

Приведём пример построения, в результате которого пересечением будет восьмиугольник.

1. Выбор фигур

• В качестве четырёхугольника возьмём невыпуклый четырёхугольник, имеющий форму дротика или бумеранга. Обозначим его вершины последовательно $A, B, C, D$. Пусть внутренний угол при вершине $C$ будет больше $180^\circ$ (вогнутый угол).
• В качестве второй фигуры возьмём произвольный треугольник $T$.

2. Взаимное расположение фигур

Ключевым для получения восьмиугольника в пересечении является взаимное расположение треугольника и четырёхугольника. Их нужно расположить так, чтобы их границы пересеклись ровно в восьми точках. Этого можно достичь следующим образом:

1. Расположим четырёхугольник $ABCD$ на плоскости.
2. Расположим треугольник $T$ так, чтобы одна из его сторон, назовём её $s_1$, пересекала все четыре стороны четырёхугольника $ABCD$. Такое возможно, если прямая, содержащая сторону $s_1$, пройдёт между вогнутой вершиной $C$ и другими вершинами четырёхугольника. Эти пересечения создадут 4 вершины будущего восьмиугольника.
3. Вторую сторону треугольника, $s_2$, расположим так, чтобы она пересекала две стороны "острия" дротика, то есть стороны $DA$ и $AB$. Это даст ещё 2 вершины.
4. Третью сторону треугольника, $s_3$, расположим так, чтобы она пересекала две стороны, образующие вогнутую часть дротика, то есть стороны $BC$ и $CD$. Это даст последние 2 вершины.

3. Результат

При таком расположении граница треугольника и граница четырёхугольника пересекаются в $4 + 2 + 2 = 8$ различных точках. Эти точки и будут являться вершинами восьмиугольника, который образуется в качестве общей части (пересечения) данных фигур. Область пересечения будет ограничена восемью сегментами, попеременно взятыми со сторон треугольника и четырёхугольника.

Ниже представлена схематическая иллюстрация такого примера:

На схеме синим цветом показан невыпуклый четырёхугольник, красным — треугольник, а закрашенная зелёная область в центре — это их пересечение, которое является восьмиугольником.

Ответ: Примером может служить пересечение невыпуклого четырёхугольника (в форме дротика) и достаточно большого треугольника, расположенного так, чтобы одна его сторона пересекала все четыре стороны четырёхугольника, а две другие стороны пересекали по две смежные стороны четырёхугольника, как описано выше.

359. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $2 : 3 : 7$.