Страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

341. На рисунке 243 $\triangle ABC = \triangle DEF$, $AB = DE$. Докажите, что $AC \parallel DF$.

Рис. 243

Дано:
$\Delta ABC = \Delta DEF$

Доказать:
$AC \parallel DF$

Доказательство:
По условию задачи треугольники $\Delta ABC$ и $\Delta DEF$ равны. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол при вершине $C$ в треугольнике $\Delta ABC$ ($\angle BCA$) равен соответствующему углу при вершине $F$ в треугольнике $\Delta DEF$ ($\angle EFD$). Таким образом, $\angle BCA = \angle EFD$.

Рассмотрим прямые $AC$ и $DF$. Прямая, проходящая через точки $C$ и $F$, является для них секущей. Углы $\angle BCA$ и $\angle EFD$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $DF$ секущей $CF$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Так как мы установили, что $\angle BCA = \angle EFD$, то прямые $AC$ и $DF$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку из равенства треугольников $\Delta ABC = \Delta DEF$ следует равенство накрест лежащих углов $\angle BCA = \angle EFD$ при прямых $AC$ и $DF$ и секущей $CF$, то по признаку параллельности прямых $AC \parallel DF$.

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK, параллельную прямой AC, $\angle MBA = 42^{\circ}$, $\angle CBK = 56^{\circ}$. Найдите углы треугольника ABC.

342. На рисунке 244 $\triangle ABC = \triangle DCE$, $AC = DE$. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 244

По условию задачи дано, что треугольники $ABC$ и $DCE$ равны: $\triangle ABC = \triangle DCE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов (углов и сторон). Согласно порядку вершин в записи равенства (вершина A соответствует вершине D, B соответствует C, C соответствует E), мы можем заключить, что соответствующие углы равны:

$\angle ABC = \angle DCE$

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Прямая, проходящая через точки B и C, является для них секущей. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей. Чтобы доказать, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны, нужно показать, что сумма этих углов равна $180^\circ$.

Из рисунка 244 видно, что точки B, C и E лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle BCE$ является развернутым, и его градусная мера составляет $180^\circ$.

Угол $\angle BCE$ состоит из двух смежных углов: $\angle BCD$ и $\angle DCE$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle BCD + \angle DCE = 180^\circ$

Ранее мы установили, что из равенства треугольников следует $\angle ABC = \angle DCE$. Заменим $\angle DCE$ на равный ему угол $\angle ABC$ в последнем уравнении:

$\angle BCD + \angle ABC = 180^\circ$

Так как сумма внутренних односторонних углов при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BC$ равна $180^\circ$, то по признаку параллельности прямых, прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

(Заметим, что дополнительное условие $AC = DE$ также является следствием равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle DCE$, поскольку сторона $AC$ соответствует стороне $DE$, и не несёт новой информации для доказательства).

Ответ: Утверждение о параллельности прямых $AB$ и $CD$ доказано.

342. Прямая, проведённая через вершину $A$ треугольника $ABC$ параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной $AC$ угол, равный углу $BAC$. Докажите, что данный треугольник – равнобедренный.

343. На рисунке 245 $AB = BC$, $CD = DK$. Докажите, что $AB \parallel DK$.

Рис. 245

Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно условию задачи, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CDK$. По условию, $CD = DK$. Следовательно, треугольник $CDK$ является равнобедренным с основанием $CK$. В нём углы при основании равны, то есть $\angle DCK = \angle CKD$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DCK$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AK$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BCA = \angle DCK$.

Теперь объединим полученные равенства: так как $\angle BAC = \angle BCA$, $\angle BCA = \angle DCK$ и $\angle DCK = \angle CKD$, то отсюда следует, что $\angle BAC = \angle CKD$.

Углы $\angle BAC$ и $\angle CKD$ являются накрест лежащими при пересечении прямых $AB$ и $DK$ секущей $AK$. Поскольку мы установили, что эти накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых можно утверждать, что прямые $AB$ и $DK$ параллельны: $AB \parallel DK$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

343. На рисунке 236 $\angle MAB = 50^\circ$, $\angle ABK = 130^\circ$, $\angle ACB = 40^\circ$, $CE$ – биссектриса угла $ACD$. Найдите углы треугольника $ACE$.

344. На рисунке 246 луч AK – биссектриса угла $BAC$, $AM = MK$. Докажите, что $MK \parallel AC$.

Рис. 246

Рассмотрим треугольник $AMK$. По условию задачи $AM = MK$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AMK$ — равнобедренный с основанием $AK$.

В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к основанию, равны. Поэтому $\angle MKA = \angle MAK$.

По условию задачи, луч $AK$ является биссектрисой угла $BAC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Таким образом, $\angle MAK = \angle KAC$.

Из полученных равенств $\angle MKA = \angle MAK$ и $\angle MAK = \angle KAC$ следует, что $\angle MKA = \angle KAC$.

Рассмотрим прямые $MK$ и $AC$, которые пересекает третья прямая (секущая) $AK$. Углы $\angle MKA$ и $\angle KAC$ являются накрест лежащими углами при этих прямых и секущей.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Поскольку мы установили, что $\angle MKA = \angle KAC$, мы можем заключить, что $MK \parallel AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $MK \parallel AC$.

344. На рисунке 237 $BE \perp AK$, $CF \perp AK$, $CK$ – биссектриса угла $FCD$, $\angle ABE = 32^\circ$. Найдите $\angle ACK$.

Рис. 237

345. На рисунке 247 $\angle ACB = \angle ACD$, $AD = CD$. Докажите, что $BC \parallel AD$.

Рис. 247

Рассмотрим треугольник $ \triangle ACD $.

По условию задачи дано, что $ AD = CD $. Это означает, что треугольник $ \triangle ACD $ является равнобедренным с основанием $ AC $.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, $ \angle CAD = \angle ACD $.

Также из условия задачи мы знаем, что $ \angle ACB = \angle ACD $.

Из двух равенств $ \angle CAD = \angle ACD $ и $ \angle ACB = \angle ACD $ следует, что $ \angle CAD = \angle ACB $.

Углы $ \angle CAD $ и $ \angle ACB $ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $ BC $ и $ AD $ секущей $ AC $.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Так как $ \angle CAD = \angle ACB $, то прямые $ BC $ и $ AD $ параллельны, то есть $ BC \parallel AD $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $ BC \parallel AD $, доказано.

345. На рисунке 238 $BC \parallel MK$, $BK = KE$, $CK = KD$. Докажите, что $AD \parallel MK$.

Рис. 238

346. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle BCD$ смежный с $\angle ACB$, луч $CM$ – биссектриса угла $BCD$. Докажите, что $AB \parallel CM$.

Дано:

$\triangle ABC$

$AB = BC$

$\angle A = 60^\circ$

$\angle BCD$ и $\angle ACB$ — смежные

$CM$ — биссектриса $\angle BCD$

Доказать:

$AB \parallel CM$

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию $AB = BC$, значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BCA = \angle BAC$. Так как по условию $\angle A = 60^\circ$, то и $\angle BCA = 60^\circ$.

2. Зная два угла треугольника, найдем третий. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

3. По условию, угол $\angle BCD$ является смежным с углом $\angle ACB$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$.

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. По условию, луч $CM$ — биссектриса угла $\angle BCD$. Биссектриса делит угол на два равных угла.

$\angle BCM = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

5. Теперь сравним углы $\angle ABC$ и $\angle BCM$. Мы видим, что $\angle ABC = 60^\circ$ и $\angle BCM = 60^\circ$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CM$ и секущей $BC$.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны ($\angle ABC = \angle BCM$), то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AB$ и $CM$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CM$.

346. На рисунке 239 $AB = AC$, $AF = FE$, $AB \parallel EF$. Докажите, что $AE \perp BC$.

Рис. 239

347. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $AC \parallel BD$.

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD$.

По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $AO = OB$ и $CO = OD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AB$ и $CD$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны между собой: $\angle AOC = \angle BOD$.

Сравним треугольники $AOC$ и $BOD$. Мы имеем следующие равенства:
1. $AO = OB$ (из условия).
2. $CO = OD$ (из условия).
3. $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).
Таким образом, треугольник $AOC$ равен треугольнику $BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $(\triangle AOC = \triangle BOD)$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle OAC = \angle OBD$.

Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ с секущей $AB$. Углы $\angle OAC$ (он же $\angle CAB$) и $\angle OBD$ (он же $\angle ABD$) являются накрест лежащими углами.

Так как мы доказали, что накрест лежащие углы равны ($\angle CAB = \angle ABD$), то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $AC \parallel BD$.

347. Треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AC$. Через произвольную точку $M$ его биссектрисы $BD$ проведены прямые, параллельные его сторонам $AB$ и $BC$ и пересекающие отрезок $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $DE = DF$.

348. На рисунке 248 $AB = CD, BC = AD$. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 248

Для доказательства того, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны, рассмотрим четырехугольник $ABCD$ и проведем в нем диагональ $AC$. Эта диагональ разделяет четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим полученные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

По условию задачи нам дано, что $AB = CD$ и $BC = AD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон:

1. $AB = CD$ (по условию)
2. $BC = AD$ (по условию)
3. $AC = CA$ (общая сторона)

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BAC$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $BC$. Угол $\angle DCA$ в треугольнике $\triangle CDA$ лежит напротив стороны $AD$. Так как стороны $BC$ и $AD$ равны, то и противолежащие им углы в равных треугольниках также равны. Значит, $\angle BAC = \angle DCA$.

Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Поскольку мы доказали, что $\angle BAC = \angle DCA$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CD$.

348. На рисунке 240 $AB \parallel DE$. Докажите, что $\angle BCD = \angle ABC + \angle CDE$.

Рис. 240

Рис. 241