Номер 346, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 346, страница 103.

346. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $\angle A = 60^\circ$, $\angle BCD$ смежный с $\angle ACB$, луч $CM$ – биссектриса угла $BCD$. Докажите, что $AB \parallel CM$.

Дано:

$\triangle ABC$

$AB = BC$

$\angle A = 60^\circ$

$\angle BCD$ и $\angle ACB$ — смежные

$CM$ — биссектриса $\angle BCD$

Доказать:

$AB \parallel CM$

---

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию $AB = BC$, значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BCA = \angle BAC$. Так как по условию $\angle A = 60^\circ$, то и $\angle BCA = 60^\circ$.

2. Зная два угла треугольника, найдем третий. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

3. По условию, угол $\angle BCD$ является смежным с углом $\angle ACB$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$.

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. По условию, луч $CM$ — биссектриса угла $\angle BCD$. Биссектриса делит угол на два равных угла.

$\angle BCM = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

5. Теперь сравним углы $\angle ABC$ и $\angle BCM$. Мы видим, что $\angle ABC = 60^\circ$ и $\angle BCM = 60^\circ$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CM$ и секущей $BC$.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны ($\angle ABC = \angle BCM$), то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AB$ и $CM$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CM$.

346. На рисунке 239 $AB = AC$, $AF = FE$, $AB \parallel EF$. Докажите, что $AE \perp BC$.

Рис. 239