Номер 352, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 352, страница 104.

352. Угол между прямыми $a$ и $c$ равен углу между прямыми $b$ и $c$. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $b$ параллельны?

Нет, на основании этого условия утверждать, что прямые a и b параллельны, нельзя.

Данное условие означает, что прямые a и b образуют одинаковые углы с прямой c. Это условие выполняется для параллельных прямых, но не только для них.

Рассмотрим два основных случая:

1. Если прямые a и b параллельны ($ a \parallel b $) и их пересекает третья прямая c (секущая), то образованные соответственные углы равны. Угол между прямыми по определению является наименьшим из углов при их пересечении, поэтому из равенства соответственных углов следует и равенство углов между прямыми. То есть, если $ a \parallel b $, то $ \angle(a, c) = \angle(b, c) $. В этом случае утверждение верно.

2. Однако существует и другая конфигурация, удовлетворяющая условию. Рассмотрим контрпример, доказывающий, что обратное утверждение неверно. Пусть прямые a и b пересекаются в некоторой точке O. Проведем через эту же точку O прямую c так, чтобы она была биссектрисой одного из углов, образованных прямыми a и b. По определению биссектрисы, угол между прямой a и прямой c равен углу между прямой b и прямой c. Но при этом прямые a и b не параллельны, а пересекаются.

Для большей наглядности можно привести пример на координатной плоскости. Пусть прямая c совпадает с осью абсцисс ($ Ox $). Возьмем прямую a, заданную уравнением $ y = x $, и прямую b, заданную уравнением $ y = -x $.
Угол между прямой a и прямой c равен $ 45^\circ $.
Угол между прямой b и прямой c также равен $ 45^\circ $.
Таким образом, условие $ \angle(a, c) = \angle(b, c) $ выполнено. Однако прямые a и b не параллельны, а пересекаются в начале координат.

Следовательно, равенство углов, которые прямые a и b образуют с третьей прямой c, не является достаточным основанием для вывода об их параллельности.

Ответ: Нет, утверждать, что прямые a и b параллельны, нельзя.

352. Биссектрисы углов $BAC$ и $BCA$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым $AB$ и $BC$ и пересекающие сторону $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $MOK$ равен длине стороны $AC$.