Номер 348, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 348, страница 103.

348. На рисунке 248 $AB = CD, BC = AD$. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 248

Для доказательства того, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны, рассмотрим четырехугольник $ABCD$ и проведем в нем диагональ $AC$. Эта диагональ разделяет четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим полученные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

По условию задачи нам дано, что $AB = CD$ и $BC = AD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон:

1. $AB = CD$ (по условию)
2. $BC = AD$ (по условию)
3. $AC = CA$ (общая сторона)

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle BAC$ в треугольнике $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $BC$. Угол $\angle DCA$ в треугольнике $\triangle CDA$ лежит напротив стороны $AD$. Так как стороны $BC$ и $AD$ равны, то и противолежащие им углы в равных треугольниках также равны. Значит, $\angle BAC = \angle DCA$.

Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$.

По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Поскольку мы доказали, что $\angle BAC = \angle DCA$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CD$.

348. На рисунке 240 $AB \parallel DE$. Докажите, что $\angle BCD = \angle ABC + \angle CDE$.

Рис. 240

Рис. 241