Номер 344, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 344, страница 103.

344. На рисунке 246 луч AK – биссектриса угла $BAC$, $AM = MK$. Докажите, что $MK \parallel AC$.

Рис. 246

Рассмотрим треугольник $AMK$. По условию задачи $AM = MK$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AMK$ — равнобедренный с основанием $AK$.

В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к основанию, равны. Поэтому $\angle MKA = \angle MAK$.

По условию задачи, луч $AK$ является биссектрисой угла $BAC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Таким образом, $\angle MAK = \angle KAC$.

Из полученных равенств $\angle MKA = \angle MAK$ и $\angle MAK = \angle KAC$ следует, что $\angle MKA = \angle KAC$.

Рассмотрим прямые $MK$ и $AC$, которые пересекает третья прямая (секущая) $AK$. Углы $\angle MKA$ и $\angle KAC$ являются накрест лежащими углами при этих прямых и секущей.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Поскольку мы установили, что $\angle MKA = \angle KAC$, мы можем заключить, что $MK \parallel AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $MK \parallel AC$.

344. На рисунке 237 $BE \perp AK$, $CF \perp AK$, $CK$ – биссектриса угла $FCD$, $\angle ABE = 32^\circ$. Найдите $\angle ACK$.

Рис. 237