Номер 337, страница 101 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 337, страница 101.

337. Параллельны ли изображённые на рисунке 239 прямые a и b, если:

Рис. 239

1) $\angle 3 = \angle 6$;

2) $\angle 2 = \angle 6$;

3) $\angle 4 = 125^{\circ}$, $\angle 6 = 55^{\circ}$;

4) $\angle 2 = 35^{\circ}$, $\angle 5 = 146^{\circ}$;

5) $\angle 1 = 98^{\circ}$, $\angle 6 = 82^{\circ}$;

6) $\angle 1 = 143^{\circ}$, $\angle 7 = 37^{\circ}$?

Для определения параллельности прямых a и b, пересеченных секущей c, используются следующие признаки:

• Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
• Если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Рассмотрим каждый случай.

1) $\angle 3 = \angle 6$.
Углы $\angle 3$ и $\angle 6$ являются накрест лежащими при пересечении прямых a и b секущей c. По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как по условию $\angle 3 = \angle 6$, то прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Да, параллельны.

2) $\angle 2 = \angle 6$.
Углы $\angle 2$ и $\angle 6$ являются соответственными при пересечении прямых a и b секущей c. По признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Так как по условию $\angle 2 = \angle 6$, то $a \parallel b$.
Ответ: Да, параллельны.

3) $\angle 4 = 125^\circ, \angle 6 = 55^\circ$.
Углы $\angle 4$ и $\angle 6$ являются внутренними односторонними при пересечении прямых a и b секущей c. По признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим сумму данных углов: $\angle 4 + \angle 6 = 125^\circ + 55^\circ = 180^\circ$. Так как сумма равна $180^\circ$, то $a \parallel b$.
Ответ: Да, параллельны.

4) $\angle 2 = 35^\circ, \angle 5 = 146^\circ$.
Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle 3 = \angle 2 = 35^\circ$. Углы $\angle 3$ и $\angle 5$ являются внутренними односторонними. Для параллельности прямых их сумма должна быть равна $180^\circ$. Найдем их сумму: $\angle 3 + \angle 5 = 35^\circ + 146^\circ = 181^\circ$. Поскольку $181^\circ \neq 180^\circ$, прямые a и b не параллельны.
Ответ: Нет, не параллельны.

5) $\angle 1 = 98^\circ, \angle 6 = 82^\circ$.
Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$. Углы $\angle 2$ и $\angle 6$ являются соответственными. Мы нашли, что $\angle 2 = 82^\circ$, и по условию $\angle 6 = 82^\circ$. Так как $\angle 2 = \angle 6$, по признаку параллельности прямых (равенство соответственных углов), прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Да, параллельны.

6) $\angle 1 = 143^\circ, \angle 7 = 37^\circ$.
Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle 5 = 180^\circ - \angle 7 = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$. Углы $\angle 1$ и $\angle 5$ являются соответственными. По условию $\angle 1 = 143^\circ$, и мы нашли, что $\angle 5 = 143^\circ$. Так как $\angle 1 = \angle 5$, по признаку параллельности прямых (равенство соответственных углов), прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Да, параллельны.

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной $180^\circ$?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?