Страница 101 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

335. На рисунке 237 укажите углы:

1) односторонние при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AB$;

2) односторонние при прямых $CE$ и $CD$ и секущей $AD$;

3) накрест лежащие при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CE$;

4) соответственные при прямых $CE$ и $CD$ и секущей $AD$;

5) односторонние при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CE$.

Рис. 237

1) односторонние при прямых BC и AD и секущей AB
Это внутренние углы, которые лежат между прямыми BC и AD и по одну сторону от секущей AB. В данном случае это пара углов $ \angle ABC $ и $ \angle BAD $.
Ответ: $ \angle ABC $ и $ \angle BAD $.

2) односторонние при прямых CE и CD и секущей AD
Односторонние углы по определению должны лежать по одну сторону от секущей. В данном случае прямые CE и CD пересекаются в точке C, а в качестве секущей выступает прямая AD, пересекающая их в точках E и D. Внутренние углы, образующиеся при этих пересечениях, — это $ \angle CED $ и $ \angle CDE $. Оба этих угла имеют своей стороной отрезок ED, который является частью самой секущей AD. Поскольку углы лежат на секущей, а не по одну сторону от нее, понятие "односторонние углы" к ним неприменимо. Следовательно, в заданной конфигурации таких углов не существует.
Ответ: таких углов не существует.

3) накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей CE
Это внутренние углы, которые лежат между прямыми BC и AD и по разные стороны от секущей CE. Такими углами являются $ \angle BCE $ и $ \angle CED $ (также можно записать как $ \angle AEC $).
Ответ: $ \angle BCE $ и $ \angle CED $.

4) соответственные при прямых CE и CD и секущей AD
Соответственные углы по определению должны лежать по одну сторону от секущей. По той же причине, что и в пункте 2, углы, образованные при пересечении прямых CE и CD секущей AD ($ \angle CED $ и $ \angle CDE $), лежат на самой секущей. Поэтому понятие "по одну сторону от секущей" к ним неприменимо, и соответственных углов в данной конфигурации не существует.
Ответ: таких углов не существует.

5) односторонние при прямых BC и AD и секущей CE
Это внутренние углы, которые должны лежать между прямыми BC и AD и по одну сторону от секущей CE. Как было определено в пункте 3, внутренние углы при секущей CE — это $ \angle BCE $ и $ \angle CED $. Эти углы лежат по разные стороны от секущей CE и являются накрест лежащими. Пары внутренних углов, лежащих по одну сторону от секущей CE, в данной конфигурации нет.
Ответ: таких углов не существует.

335. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $AO = BO$, $AC \parallel BD$. Докажите, что $CO = DO$.

336. На каких из рисунков 238, а–г прямые а и b параллельны?

Рис. 238

а

$28^\circ$, $29^\circ$

б

$52^\circ$, $52^\circ$

в

$108^\circ$, $72^\circ$

г

$16^\circ$, $154^\circ$

Для определения параллельности прямых a и b, пересеченных секущей c, в каждом случае воспользуемся соответствующими признаками параллельности прямых.

а) На данном рисунке изображены накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей c. Согласно первому признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В данном случае углы равны $28^\circ$ и $29^\circ$. Поскольку $28^\circ \neq 29^\circ$, прямые a и b не являются параллельными.
Ответ: не параллельны.

б) На этом рисунке показаны соответственные углы. Согласно второму признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. В данном случае оба угла равны $52^\circ$. Так как углы равны, то прямые a и b параллельны.
Ответ: параллельны.

в) Здесь представлены односторонние внутренние углы. Согласно третьему признаку параллельности прямых, если сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим сумму данных углов: $108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$. Условие выполняется, следовательно, прямые a и b параллельны.
Ответ: параллельны.

г) На рисунке даны два угла. Найдем угол, смежный с углом $154^\circ$. Его величина составляет $180^\circ - 154^\circ = 26^\circ$. Этот найденный угол ($26^\circ$) и угол $16^\circ$ являются накрест лежащими. Для параллельности прямых a и b они должны быть равны. Однако $16^\circ \neq 26^\circ$. Таким образом, прямые a и b не параллельны.
Альтернативный способ: Угол, вертикальный углу в $16^\circ$, также равен $16^\circ$. Этот угол и угол в $154^\circ$ являются односторонними внутренними. Их сумма должна быть равна $180^\circ$. Проверим: $16^\circ + 154^\circ = 170^\circ$. Так как $170^\circ \neq 180^\circ$, прямые не параллельны.
Ответ: не параллельны.

Итак, прямые a и b параллельны на рисунках б и в.

336. Отрезки $MK$ и $DE$ пересекаются в точке $F$, $DK \parallel ME$, $DK = ME$. Докажите, что $\triangle MEF = \triangle DKF$.

337. Параллельны ли изображённые на рисунке 239 прямые a и b, если:

Рис. 239

1) $\angle 3 = \angle 6$;

2) $\angle 2 = \angle 6$;

3) $\angle 4 = 125^{\circ}$, $\angle 6 = 55^{\circ}$;

4) $\angle 2 = 35^{\circ}$, $\angle 5 = 146^{\circ}$;

5) $\angle 1 = 98^{\circ}$, $\angle 6 = 82^{\circ}$;

6) $\angle 1 = 143^{\circ}$, $\angle 7 = 37^{\circ}$?

Для определения параллельности прямых a и b, пересеченных секущей c, используются следующие признаки:

• Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
• Если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Рассмотрим каждый случай.

1) $\angle 3 = \angle 6$.
Углы $\angle 3$ и $\angle 6$ являются накрест лежащими при пересечении прямых a и b секущей c. По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как по условию $\angle 3 = \angle 6$, то прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Да, параллельны.

2) $\angle 2 = \angle 6$.
Углы $\angle 2$ и $\angle 6$ являются соответственными при пересечении прямых a и b секущей c. По признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Так как по условию $\angle 2 = \angle 6$, то $a \parallel b$.
Ответ: Да, параллельны.

3) $\angle 4 = 125^\circ, \angle 6 = 55^\circ$.
Углы $\angle 4$ и $\angle 6$ являются внутренними односторонними при пересечении прямых a и b секущей c. По признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим сумму данных углов: $\angle 4 + \angle 6 = 125^\circ + 55^\circ = 180^\circ$. Так как сумма равна $180^\circ$, то $a \parallel b$.
Ответ: Да, параллельны.

4) $\angle 2 = 35^\circ, \angle 5 = 146^\circ$.
Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle 3 = \angle 2 = 35^\circ$. Углы $\angle 3$ и $\angle 5$ являются внутренними односторонними. Для параллельности прямых их сумма должна быть равна $180^\circ$. Найдем их сумму: $\angle 3 + \angle 5 = 35^\circ + 146^\circ = 181^\circ$. Поскольку $181^\circ \neq 180^\circ$, прямые a и b не параллельны.
Ответ: Нет, не параллельны.

5) $\angle 1 = 98^\circ, \angle 6 = 82^\circ$.
Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$. Углы $\angle 2$ и $\angle 6$ являются соответственными. Мы нашли, что $\angle 2 = 82^\circ$, и по условию $\angle 6 = 82^\circ$. Так как $\angle 2 = \angle 6$, по признаку параллельности прямых (равенство соответственных углов), прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Да, параллельны.

6) $\angle 1 = 143^\circ, \angle 7 = 37^\circ$.
Углы $\angle 5$ и $\angle 7$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда $\angle 5 = 180^\circ - \angle 7 = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$. Углы $\angle 1$ и $\angle 5$ являются соответственными. По условию $\angle 1 = 143^\circ$, и мы нашли, что $\angle 5 = 143^\circ$. Так как $\angle 1 = \angle 5$, по признаку параллельности прямых (равенство соответственных углов), прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: Да, параллельны.

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной $180^\circ$?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?