Страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

315. Перерисуйте в тетрадь рисунок 226. Проведите через точку $B$ прямую $m$, параллельную прямой $AC$, а через точку $D$ прямую $n$, параллельную прямой $AC$. Каково взаимное расположение прямых $m$ и $n$?

Рис. 226

По условию задачи мы должны выполнить следующие построения:

• Провести прямую $m$ через точку $B$ так, чтобы она была параллельна прямой $AC$. Это означает, что $m \parallel AC$.
• Провести прямую $n$ через точку $D$ так, чтобы она была параллельна прямой $AC$. Это означает, что $n \parallel AC$.

Далее необходимо определить взаимное расположение прямых $m$ и $n$. Для этого воспользуемся свойством транзитивности параллельности прямых (которое является следствием из аксиомы параллельных прямых Евклида):

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

В нашей задаче обе прямые, $m$ и $n$, по построению параллельны одной и той же прямой $AC$.

Имеем: $m \parallel AC$
$n \parallel AC$

Следовательно, на основании вышеуказанного свойства, мы можем заключить, что прямая $m$ параллельна прямой $n$.

Ответ: прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$).

315. Известно, что некоторая прямая $m$ пересекает прямую $a$ (рис. 220). Пересекает ли прямая $m$ прямую $b$?

Рис. 220

$a$

$b$

$40^\circ$

$140^\circ$

316. Можно ли провести прямую, которая была бы параллельна каждой из пересекающихся прямых $a$ и $b$?

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что такая прямая c существует. По условию, эта прямая c должна быть параллельна одновременно и прямой a, и прямой b. Запишем это математически:

$c \parallel a$ и $c \parallel b$

В евклидовой геометрии существует теорема (которая является следствием аксиомы о параллельных прямых): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Применив эту теорему к нашему предположению, мы получаем, что если $c \parallel a$ и $c \parallel b$, то из этого следует, что прямые a и b должны быть параллельны друг другу: $a \parallel b$.

Однако это заключение вступает в противоречие с исходным условием задачи, в котором сказано, что прямые a и b являются пересекающимися. По определению, пересекающиеся прямые не могут быть параллельными.

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно неверно. Следовательно, провести прямую, которая была бы параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, невозможно.

Ответ: Нет, такую прямую провести нельзя.

316. Каково взаимное расположение прямых CD и EF на рисунке 221?

$48^\circ$ $24^\circ$ $132^\circ$ $72^\circ$

317. Прямая $a$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Может ли прямая $a$ быть параллельной стороне $AC$? стороне $BC$?

По определению, треугольник $ABC$ — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек $A$, $B$, $C$, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков $AB$, $BC$ и $AC$, соединяющих эти точки. Прямые, содержащие стороны треугольника, попарно пересекаются в его вершинах. В частности, прямые $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$, а прямые $AB$ и $BC$ — в точке $B$. Пересекающиеся прямые не могут быть параллельными.

По условию задачи, прямая $a$ параллельна стороне $AB$. Запишем это как $a \parallel AB$.

Может ли прямая a быть параллельной стороне AC?

Предположим, что прямая $a$ также параллельна стороне $AC$. В этом случае мы имеем два одновременных условия:
1) $a \parallel AB$ (по условию);
2) $a \parallel AC$ (наше предположение).

В евклидовой геометрии существует аксиома о параллельных прямых, из которой следует свойство транзитивности параллельности: если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Исходя из этого свойства, из наших двух условий следует, что $AB \parallel AC$.

Однако прямые $AB$ и $AC$ являются сторонами одного треугольника и пересекаются в вершине $A$. По определению, параллельные прямые не пересекаются. Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, не может.

Может ли прямая a быть параллельной стороне BC?

Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Предположим, что прямая $a$ параллельна стороне $BC$. Тогда мы имеем:
1) $a \parallel AB$ (по условию);
2) $a \parallel BC$ (наше предположение).

Из свойства транзитивности параллельности прямых следует, что $AB \parallel BC$.

Но прямые $AB$ и $BC$ — это стороны треугольника $ABC$, которые имеют общую точку $B$, то есть пересекаются. Это противоречит определению параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Нет, не может.

317. Угол $ABC$ равен $60^\circ$, а угол $BCD$ – $120^\circ$. Можно ли утверждать, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны?

318. Являются ли два отрезка параллельными, если они не имеют общих точек?

По определению, два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Рассмотрим различные случаи расположения двух отрезков, не имеющих общих точек:

1. Отрезки лежат на параллельных прямых. В этом случае отрезки не имеют общих точек и, согласно определению, являются параллельными.

2. Отрезки лежат на одной прямой, но не пересекаются. В этом случае они также не имеют общих точек. Прямая, на которой они лежат, параллельна самой себе, поэтому такие отрезки также можно считать параллельными.

3. Отрезки лежат на пересекающихся прямых. Возможно такое расположение, при котором сами отрезки не будут иметь общих точек, несмотря на то что прямые, которым они принадлежат, пересекаются.

Например, пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. Возьмем на прямой $a$ отрезок $AB$, не содержащий точку $O$, и на прямой $b$ отрезок $CD$, также не содержащий точку $O$. Отрезки $AB$ и $CD$ не будут иметь общих точек. Однако, поскольку они лежат на пересекающихся прямых $a$ и $b$, они не являются параллельными.

Таким образом, условие отсутствия общих точек у двух отрезков не является достаточным, чтобы утверждать, что они параллельны.

Ответ: Нет, не обязательно. Два отрезка могут не иметь общих точек, но при этом лежать на пересекающихся прямых, и в этом случае они не будут параллельными.

318. Угол между прямыми $a$ и $c$ равен углу между прямыми $b$ и $c$. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $b$ параллельны?

319. Можно ли утверждать, что существует только один луч, параллельный данной прямой, началом которого является данная точка?

Нет, данное утверждение неверно.

Для ответа на этот вопрос рассмотрим два возможных случая расположения данной точки относительно данной прямой.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$.

1. Точка $M$ не лежит на прямой $a$.

Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведем через точку $M$ прямую $b$, параллельную прямой $a$.

Любой луч, который начинается в точке $M$ и параллелен прямой $a$, должен целиком лежать на прямой $b$. Точка $M$ является точкой на прямой $b$ и делит ее на два луча, выходящих из этой точки в противоположных направлениях. Оба этих луча начинаются в точке $M$ и лежат на прямой $b$. Поскольку прямая $b$ параллельна прямой $a$, то и оба луча, на ней лежащие, параллельны прямой $a$.

Таким образом, в этом случае существует не один, а два луча, удовлетворяющих условию.

2. Точка $M$ лежит на прямой $a$.

В этом случае лучи с началом в точке $M$ также лежат на прямой $a$. По определению, параллельные прямые не имеют общих точек. Если следовать этому строго, то луч, лежащий на прямой $a$, не может быть ей параллелен. Если же считать, что прямая параллельна самой себе, то из точки $M$ на прямой $a$ выходят два луча в противоположных направлениях, и оба они будут "параллельны" исходной прямой.

В обоих рассмотренных случаях утверждение о существовании только одного луча не выполняется. В наиболее общем случае (точка вне прямой) таких лучей два.

Ответ: Нет, нельзя. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести два луча, параллельных этой прямой. Они являются двумя дополнительными друг к другу лучами, лежащими на одной прямой, параллельной данной.

319. Четыре угла, образованные при пересечении прямых $a$ и $b$ прямой $c$, равны по $40^\circ$, а любой из остальных четырёх углов $-$ $140^\circ$. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $b$ параллельны?

320. Сколько можно провести отрезков, параллельных данной прямой, через точку, не принадлежащую этой прямой?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к основам евклидовой геометрии и понимать разницу между прямой и отрезком.

1. Согласно аксиоме о параллельных прямых (также известной как пятый постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Пусть у нас есть прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая прямой $a$. Тогда существует единственная прямая $b$, такая что точка $M$ принадлежит прямой $b$ ($M \in b$) и прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

2. Вопрос, однако, касается не прямых, а отрезков. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Любой отрезок, который параллелен прямой $a$ и проходит через точку $M$, должен целиком лежать на этой единственной прямой $b$.

3. На прямой $b$ мы можем выбрать бесконечное количество различных отрезков, которые содержат точку $M$. Например, точка $M$ может быть одним из концов отрезка. Мы можем выбрать любую другую точку $N$ на прямой $b$ и образовать отрезок $MN$. Так как на прямой бесконечно много точек, то и таких отрезков можно построить бесконечно много. Также, точка $M$ может быть внутренней точкой отрезка. Мы можем выбрать две точки $P$ и $Q$ на прямой $b$ по разные стороны от точки $M$ и образовать отрезок $PQ$. Таких пар точек также можно выбрать бесконечно много.

Таким образом, хотя параллельная прямая всего одна, отрезков, лежащих на этой прямой и проходящих через данную точку, можно провести бесконечное множество.

Ответ: можно провести бесконечно много отрезков, параллельных данной прямой, через точку, не принадлежащую этой прямой.

320. Прямая пересекает биссектрису $BM$ треугольника $ABC$ в точке $O$, являющейся серединой отрезка $BM$, а сторону $BC$ – в точке $K$. Докажите, что если $OK \perp BM$, то $MK \parallel AB$.

321. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Можно ли провести такую прямую $c$, которая была бы параллельна прямой $a$ и пересекала прямую $b$?

Да, такую прямую провести можно. Это является следствием аксиомы параллельности в евклидовой геометрии. Существование такой прямой можно доказать несколькими способами.

1. Конструктивное доказательство (построение)

По условию, прямые $a$ и $b$ пересекаются. Обозначим их точку пересечения как $M$.

Согласно аксиоме о параллельных прямых, через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Выберем на прямой $b$ любую точку $P$, которая не совпадает с точкой $M$. Поскольку $P \neq M$, точка $P$ не лежит на прямой $a$.

Теперь через точку $P$ проведем прямую $c$, параллельную прямой $a$. По аксиоме, такая прямая существует и она единственна.

Проверим, удовлетворяет ли построенная прямая $c$ условиям задачи:
1. $c \parallel a$ (по построению).
2. Прямая $c$ пересекает прямую $b$, так как они имеют общую точку $P$ (по построению).

Таким образом, мы не только доказали, что такая прямая существует, но и показали, как ее можно построить.

2. Доказательство с использованием теоремы

В евклидовой геометрии есть теорема: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Проведем любую прямую $c$, параллельную прямой $a$. Существование такой прямой гарантируется аксиомой параллельности.

Теперь у нас есть две параллельные прямые ($a$ и $c$) и третья прямая $b$. По условию, прямая $b$ пересекает прямую $a$.

Следовательно, согласно теореме, прямая $b$ должна пересекать и прямую $c$.

Это доказывает, что любая прямая, параллельная $a$, будет пересекать $b$.

Ответ: Да, можно.

321. Отрезки $AM$ и $CK$ – медианы треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MF$, а на продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ – отрезок $KD$ так, что $MF = AM$, $KD = CK$. Докажите, что точки $B$, $D$ и $F$ лежат на одной прямой.

322. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$, прямая $d$ пересекает прямую $a$. Пересекает ли прямая $d$ прямую $b$?

Ответ на этот вопрос зависит от того, рассматриваются ли данные прямые в одной плоскости (планиметрия) или в трехмерном пространстве (стереометрия), так как от этого зависит решение.

Случай 1: Все прямые лежат в одной плоскости.

Это стандартное предположение для задач такого типа, если иное не указано в условии. В этом случае рассуждения будут следующими:

1. Из условия мы знаем, что прямые a и b перпендикулярны прямой c. Это можно записать как $a \perp c$ и $b \perp c$.
2. Согласно теореме из планиметрии, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, мы можем сделать вывод, что $a \parallel b$.
3. По условию также дано, что прямая d пересекает прямую a.
4. В соответствии со свойством параллельных прямых (которое является следствием аксиомы параллельности Евклида), если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
5. Так как $a \parallel b$ и прямая d пересекает прямую a, то отсюда следует, что прямая d также пересечет и прямую b.

Ответ: Да, в случае, если все прямые лежат в одной плоскости, прямая d пересекает прямую b.

Случай 2: Прямые расположены в трехмерном пространстве.

Если рассматривать задачу в рамках стереометрии, ответ будет иным, так как в пространстве исходные условия не гарантируют параллельности прямых a и b.

1. В пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, не обязательно являются параллельными. Они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.
2. Чтобы доказать, что пересечение не является обязательным, достаточно привести один контрпример.
3. Введем прямоугольную систему координат Oxyz.
4. Пусть прямая c совпадает с осью Oz.
5. Пусть прямая a совпадает с осью Ox. Так как ось Ox перпендикулярна оси Oz, условие $a \perp c$ выполнено.
6. Пусть прямая b совпадает с осью Oy. Так как ось Oy перпендикулярна оси Oz, условие $b \perp c$ также выполнено.
7. В этом примере прямые a и b не параллельны, а пересекаются в начале координат.
8. Теперь зададим прямую d так, чтобы она пересекала прямую a, но не пересекала прямую b. Пусть прямая d проходит через точку (1, 0, 0) на прямой a и параллельна прямой c (оси Oz). Уравнения такой прямой d: $x=1, y=0$.
9. Прямая b (ось Oy) описывается уравнениями $x=0, z=0$. Для того чтобы прямые d и b пересеклись, должна существовать точка, удовлетворяющая обеим системам уравнений, но это невозможно, так как в одной системе $x=1$, а в другой $x=0$.
10. Следовательно, прямые d и b не пересекаются (они являются скрещивающимися).

Ответ: Нет, в пространстве прямая d не обязательно пересекает прямую b.

322. Луч OC разбивает угол AOB на два угла так, что $\angle AOC : \angle BOC = 3 : 5$. Найдите угол между лучом OC и биссектрисой угла, смежного с углом AOB, если $\angle BOC$ на $42^\circ$ больше $\angle AOC$.

323. Отрезок $BD$ — медиана равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$). Через точку $B$ проведена прямая $m$, перпендикулярная прямой $BD$. Каково взаимное расположение прямых $m$ и $AC$? Ответ обоснуйте.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. Следовательно, $AC$ является основанием треугольника.

Отрезок $BD$ является медианой, проведенной к основанию $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой.

Так как $BD$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$. Это означает, что угол между прямыми $BD$ и $AC$ равен $90^\circ$. Математически это записывается как $BD \perp AC$.

Также по условию через точку $B$ проведена прямая $m$, которая перпендикулярна прямой $BD$. Это означает, что $m \perp BD$.

Итак, мы имеем две прямые — $m$ и $AC$, и обе они перпендикулярны одной и той же прямой $BD$.

Согласно теореме о взаимном расположении прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Следовательно, прямая $m$ параллельна прямой $AC$.

Ответ: Прямые $m$ и $AC$ параллельны.

323. На рисунке 222 $AB = BC$, $\angle ABK = \angle CBM$. Докажите, что $BM = BK$.

Рис. 222

324. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Прямая $c$ параллельна прямой $a$. Докажите, что прямые $b$ и $c$ пересекаются.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Обозначим их точку пересечения как $M$. То есть, $a \cap b = M$.

Прямая $c$ параллельна прямой $a$, то есть $c \parallel a$.

Доказать:

Прямые $b$ и $c$ пересекаются.

Доказательство:

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что прямые $b$ и $c$ не пересекаются.

Если две прямые, лежащие в одной плоскости, не пересекаются, то они параллельны. Следовательно, наше предположение означает, что $b \parallel c$.

Из условия задачи нам известно, что $c \parallel a$.

Теперь у нас есть следующие два утверждения: $b \parallel c$ (наше предположение) и $a \parallel c$ (из условия).

Существует теорема (которая является следствием из аксиомы параллельных прямых): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Применяя эту теорему, мы получаем, что $a \parallel b$.

Однако это заключение ($a \parallel b$) прямо противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Поскольку наше первоначальное предположение привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, прямые $b$ и $c$ не могут быть параллельны, а значит, они должны пересекаться.

Ответ: Утверждение доказано: прямые $b$ и $c$ пересекаются.

324. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание $AC$. Прямая $BD$ пересекает отрезок $AC$ в точке $E$. Докажите, что $AE = EC$.

325. Даны три прямые $a$, $b$ и $c$. Известно, что прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямая $c$ не пересекает прямую $a$. Докажите, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством транзитивности параллельности прямых, которое является следствием аксиомы о параллельных прямых в евклидовой геометрии.

Дано:
1. Три прямые $a, b, c$.
2. Прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $a \parallel b$.
3. Прямая $c$ не пересекает прямую $a$.

Доказать:
Прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

Доказательство:
1. По определению, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Так как по условию прямая $c$ не пересекает прямую $a$, это означает, что прямые $a$ и $c$ параллельны: $a \parallel c$.

2. Теперь у нас есть два установленных факта: $a \parallel b$ (из условия) и $a \parallel c$ (из пункта 1). Это значит, что обе прямые, $b$ и $c$, параллельны одной и той же прямой $a$.

3. Согласно теореме о транзитивности параллельности, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Эта теорема гласит: если $b \parallel a$ и $c \parallel a$, то $b \parallel c$.

4. Применяя эту теорему к нашей задаче, мы заключаем, что прямые $b$ и $c$ параллельны друг другу: $b \parallel c$.

5. Поскольку прямые $b$ и $c$ параллельны, по определению они не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Таким образом, доказано, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

Ответ: Утверждение доказано.

325. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольник.