Страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

326. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не являются параллельными. Это означает, что они могут либо пересекаться, либо быть скрещивающимися. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Так как $a$ и $b$ — различные прямые (если бы они совпадали, то по определению были бы параллельны), на прямой $a$ существует точка $N$, не принадлежащая прямой $b$ (то есть, $N \ne M$).
Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку $N$, не лежащую на прямой $b$, можно провести прямую $c$, параллельную прямой $b$.
Рассмотрим свойства построенной прямой $c$:
1. Прямая $c$ пересекает прямую $a$, так как по построению проходит через точку $N$, которая принадлежит прямой $a$.
2. Прямая $c$ не пересекает прямую $b$, так как она параллельна ей ($c \parallel b$) и не совпадает с ней (поскольку точка $N$ лежит на $c$, но не на $b$).
Таким образом, мы нашли прямую $c$, которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$. Это противоречит условию задачи, согласно которому *любая* прямая, пересекающая $a$, должна пересекать и $b$. Следовательно, наше предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, неверно.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

Если прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, то они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Выберем на прямой $a$ произвольную точку $K$. Так как прямые $a$ и $b$ не пересекаются, точка $K$ не лежит на прямой $b$.
Проведем через точку $K$ прямую $d$, параллельную прямой $b$ ($d \parallel b$). Существование и единственность такой прямой гарантируется соответствующей аксиомой.
Рассмотрим свойства прямой $d$:
1. Прямая $d$ пересекает прямую $a$ в точке $K$.
2. Прямая $d$ не пересекает прямую $b$. Допустим, это не так, и прямые $d$ и $b$ пересекаются. Поскольку по построению они параллельны, их пересечение возможно только в случае их совпадения ($d=b$). Но если $d=b$, то прямая $b$ должна проходить через точку $K$. А точка $K$ лежит на прямой $a$. В этом случае прямые $a$ и $b$ пересекались бы в точке $K$, что противоречит нашему предположению о том, что они скрещивающиеся. Значит, $d$ и $b$ — это две различные параллельные прямые, и они не пересекаются.
Мы снова нашли прямую ($d$), которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$, что противоречит условию задачи. Следовательно, предположение о том, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются, также неверно.

Поскольку оба возможных случая для непараллельных прямых (пересечение и скрещивание) приводят к противоречию с условием задачи, наше исходное предположение неверно. Следовательно, прямые $a$ и $b$ могут быть только параллельными.
Ответ: Что и требовалось доказать.

326. На рисунке 230 найдите угол $1$.

Рис. 230

a

b

c

d

$64^\circ$

$108^\circ$

$116^\circ$

$1$

327. На отрезке $AB$ отметили точки $C$ и $D$ так, что $AC = BD$. Точка $O$ – середина отрезка $CD$. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если $AB = 21$ см, $AO : OD = 7 : 2$.

Согласно условию задачи, на отрезке AB отмечены точки C и D таким образом, что $AC = BD$. Точка O является серединой отрезка CD.

Из того, что O — середина отрезка CD, следует, что $CO = OD$.

Также по условию дано отношение длин отрезков AO и OD: $AO : OD = 7 : 2$.

Для решения задачи введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины отрезков можно выразить следующим образом:
$AO = 7x$
$OD = 2x$

Поскольку $CO = OD$, то $CO = 2x$.

Теперь можем найти длину отрезка CD. Она равна сумме длин составляющих его отрезков CO и OD:
$CD = CO + OD = 2x + 2x = 4x$.

Так как точки C и O лежат на отрезке AD (это следует из того, что $AO = 7x$ и $OD=2x$, то есть $AO > OD$), мы можем выразить длину отрезка AC через разность длин отрезков AO и CO:
$AC = AO - CO = 7x - 2x = 5x$.

В условии сказано, что $AC = BD$. Значит, $BD = 5x$.

Длина всего отрезка AB является суммой длин отрезков AC, CD и BD, так как точки C и D лежат между A и B.
$AB = AC + CD + BD$.

Подставим в это равенство выражения для длин отрезков через $x$:
$AB = 5x + 4x + 5x = 14x$.

По условию, длина отрезка AB равна 21 см. Приравняем это значение к полученному выражению:
$14x = 21$.

Отсюда найдем значение $x$:
$x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Нас просят найти расстояние между точками C и D, то есть длину отрезка CD. Ранее мы нашли, что $CD = 4x$. Подставим найденное значение $x$:
$CD = 4 \cdot x = 4 \cdot 1.5 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

327. На рисунке 231 найдите угол $2$.

Рис. 231

m

n

p

k

$100^\circ$

$100^\circ$

$94^\circ$

$2$

328. Точка B принадлежит прямой AC, лучи BD и BF лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, $ \angle ABD = 80^{\circ} $, $ \angle ABF = 150^{\circ} $, луч BM - биссектриса угла $ \angle DBF $. Найдите угол $ \angle MBC $.

Поскольку точка В лежит на прямой АС, то угол АВС является развернутым, и его величина составляет $180^\circ$. Углы $\angle ABD$ и $\angle DBC$ являются смежными, так как их сумма равна величине развернутого угла. Найдем величину угла $\angle DBC$:
$\angle DBC = 180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Аналогично, углы $\angle ABF$ и $\angle FBC$ являются смежными. Найдем величину угла $\angle FBC$:
$\angle FBC = 180^\circ - \angle ABF = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Согласно условию, лучи BD и BF лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Это значит, что угол $\angle DBF$ складывается из углов $\angle DBC$ и $\angle FBC$. Найдем его величину:
$\angle DBF = \angle DBC + \angle FBC = 100^\circ + 30^\circ = 130^\circ$.

Луч ВМ является биссектрисой угла $\angle DBF$, следовательно, он делит этот угол на два равных угла:
$\angle DBM = \angle MBF = \frac{\angle DBF}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$.

Искомый угол $\angle MBC$ является частью угла $\angle DBC$. Так как $\angle DBM = 65^\circ$, а $\angle DBC = 100^\circ$, то луч BM находится между лучами BD и BC. Таким образом, мы можем найти угол $\angle MBC$ как разность углов $\angle DBC$ и $\angle DBM$:
$\angle MBC = \angle DBC - \angle DBM = 100^\circ - 65^\circ = 35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$.

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна $50^\circ$. Найдите эти углы.

329. В треугольнике $ABC$ медиана $CM$ равна половине стороны $AB$, $\angle A = 47^{\circ}$, $\angle B = 43^{\circ}$. Чему равен угол $ACB$?

Поскольку $CM$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$, точка $M$ делит сторону $AB$ пополам. Таким образом, $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

Из условия задачи известно, что медиана $CM$ равна половине стороны $AB$, то есть $CM = \frac{1}{2}AB$.

Сопоставляя эти два равенства, получаем, что $AM = MB = CM$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Так как $AM = CM$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол $\angle ACM$ равен углу $\angle A$.

$\angle ACM = \angle A = 47^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BMC$. Так как $MB = CM$, он также является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны, поэтому угол $\angle BCM$ равен углу $\angle B$.

$\angle BCM = \angle B = 43^\circ$.

Угол $ACB$ представляет собой сумму углов $\angle ACM$ и $\angle BCM$.

$\angle ACB = \angle ACM + \angle BCM$

Подставляя найденные значения углов, получаем:

$\angle ACB = 47^\circ + 43^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

330. Катя и Женя подошли к квадратному пруду, в середине которого находится квадратный остров (рис. 227). На берегу они нашли две доски чуть-чуть короче ширины пролива между берегом пруда и островом. Как им попасть на остров, используя эти доски?

Рис. 227

Для того чтобы Кате и Жене перебраться на остров, им необходимо использовать геометрию углов квадратного пруда. Поскольку доски немного короче ширины пролива, прямой мост от берега к острову построить нельзя. Решение заключается в создании составного моста с опорой, выдвинутой в сторону острова.

Решение

План действий следующий:

1. Нужно подойти к одному из углов пруда.
2. Первую доску следует положить так, чтобы она соединяла два смежных берега у этого угла, располагаясь над водой. Один конец доски будет на одном берегу, а другой — на другом. Таким образом, доска образует "срез" угла и становится устойчивой опорой.
3. Вторую доску нужно положить одним концом на середину первой доски, а другим концом она без проблем дотянется до берега острова. После этого по получившемуся мосту можно перейти на остров.

Обоснование

Эта конструкция эффективна, так как первая доска создает опору, смещенную от угла берега по диагонали к центру пруда. Это сокращает расстояние, которое необходимо преодолеть второй доске.

Приведем математическое доказательство. Пусть ширина пролива равна $W$, а длина доски — $L$. По условию, $L$ немного меньше $W$ (то есть $L \approx W$).

Расположим угол пруда в начале координат (0,0). Тогда берега идут вдоль положительных полуосей X и Y, а ближайший угол острова находится в точке с координатами $(W, W)$. Расстояние до этого угла по диагонали составляет $D = \sqrt{W^2 + W^2} = W\sqrt{2}$.

Когда мы кладем первую доску поперек угла, ее середина максимально удалена от берега. Концы доски находятся в точках $(x, 0)$ и $(0, x)$. По теореме Пифагора, длина доски $L^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$, следовательно, $x = L/\sqrt{2}$. Середина этой доски находится в точке $M$ с координатами $(x/2, x/2)$, то есть $(L/(2\sqrt{2}), L/(2\sqrt{2}))$.

Расстояние от угла берега (0,0) до точки $M$ по диагонали составляет $d = \sqrt{(L/(2\sqrt{2}))^2 + (L/(2\sqrt{2}))^2} = \sqrt{2 \cdot L^2/8} = \sqrt{L^2/4} = L/2$.

Таким образом, мы создали опору, выдвинутую на расстояние $L/2$ к центру пруда. От этой точки мы кладем вторую доску длиной $L$. Суммарная "дальность" нашей конструкции по диагонали составляет $L/2 + L = 1.5L$.

Сравним дальность моста с расстоянием до угла острова: $1.5L$ и $W\sqrt{2}$. Поскольку $L \approx W$, а $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем, что $1.5L > 1.414W$. Это означает, что длины досок достаточно для постройки моста до угла острова.

Ответ: Нужно положить одну доску поперек угла пруда (от одного берега к другому), а вторую доску положить одним концом на середину первой доски, а другим — на остров.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен $48^\circ$;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно $2:7$.