Страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

349. Известно, что некоторая прямая $m$ пересекает прямую $a$ (рис. 249).

Пересекает ли прямая $m$ прямую $b$?

Рис. 249

Для того чтобы ответить на вопрос, пересекает ли прямая m прямую b, сначала необходимо определить взаимное расположение прямых a и b. На рисунке мы видим, что прямые a и b пересечены третьей прямой (секущей, показана синим цветом).

При этом образовались два внутренних односторонних угла. Один угол, при пересечении секущей с прямой a, равен $40^\circ$. Другой угол, при пересечении с прямой b, равен $140^\circ$.

Воспользуемся признаком параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то такие прямые параллельны.

Вычислим сумму данных углов:

$40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, мы можем сделать вывод, что прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).

В условии задачи сказано, что прямая m пересекает прямую a. Существует теорема (следствие из аксиомы параллельных прямых): если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Так как $a \parallel b$ и прямая m пересекает прямую a, то она обязательно пересечет и прямую b.

Ответ: да, прямая m пересекает прямую b.

349. На рисунке 241 $AB \parallel DE$, $\angle ABC = 120^\circ$, $\angle CDE = 150^\circ$. Докажите, что $BC \perp CD$.

Рис. 240

Рис. 241

350. Каково взаимное расположение прямых CD и EF на рисунке 250?

Рис. 250

Для того чтобы определить взаимное расположение прямых $CD$ и $EF$, мы последовательно установим их расположение относительно вспомогательной прямой $AB$.

1. Взаимное расположение прямых $AB$ и $CD$.

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AC$. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются внутренними односторонними. Согласно данным на рисунке, их величины равны $\angle BAC = 48^\circ$ и $\angle ACD = 132^\circ$.

Найдем сумму этих углов:

$\angle BAC + \angle ACD = 48^\circ + 132^\circ = 180^\circ$.

Поскольку сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то, по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$. Таким образом, $AB \parallel CD$.

2. Взаимное расположение прямых $AB$ и $EF$.

Рассмотрим прямые $AB$ и $EF$ и секущую $AF$. Угол $\angle BAF$ состоит из двух смежных углов, показанных на рисунке: $\angle BAC$ и $\angle CAF$.

Найдем величину угла $\angle BAF$ путем сложения его частей:

$\angle BAF = \angle BAC + \angle CAF = 48^\circ + 24^\circ = 72^\circ$.

Углы $\angle BAF$ и $\angle AFE$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $AF$. По условию, $\angle AFE = 72^\circ$.

Сравнивая величины этих углов, мы видим, что они равны:

$\angle BAF = \angle AFE = 72^\circ$.

Так как внутренние накрест лежащие углы равны, то, по признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $EF$. Таким образом, $AB \parallel EF$.

3. Вывод о расположении прямых $CD$ и $EF$.

Из предыдущих шагов мы установили, что $AB \parallel CD$ и $AB \parallel EF$.

Согласно свойству транзитивности параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), мы можем заключить, что прямая $CD$ параллельна прямой $EF$.

Ответ: Прямые $CD$ и $EF$ параллельны ($CD \parallel EF$).

350. Через вершину $B$ треугольника $\triangle ABC$ провели прямую, параллельную его биссектрисе $AM$. Эта прямая пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что $\triangle BAK$ – равнобедренный.

351. Угол $ABC$ равен $60^\circ$, а угол $BCD - 120^\circ$. Можно ли утверждать, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны?

Для решения этой задачи рассмотрим прямые AB и CD, которые пересечены третьей прямой BC (секущей). Углы $ABC$ и $BCD$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей.

Существует признак параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то такие прямые параллельны.

В нашем случае даны значения этих углов:

$\angle ABC = 60^\circ$

$\angle BCD = 120^\circ$

Найдем их сумму:

$\angle ABC + \angle BCD = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, мы можем сделать вывод, что прямые AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$).

Ответ: Да, можно утверждать, что прямые AB и CD параллельны, так как сумма внутренних односторонних углов при секущей BC равна $180^\circ$.

351. Через точку $O$ пересечения биссектрис $AE$ и $CF$ треугольника $ABC$ провели прямую, параллельную прямой $AC$. Эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $M$, а сторону $BC$ – в точке $K$. Докажите, что $MK = AM + CK$.

352. Угол между прямыми $a$ и $c$ равен углу между прямыми $b$ и $c$. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $b$ параллельны?

Нет, на основании этого условия утверждать, что прямые a и b параллельны, нельзя.

Данное условие означает, что прямые a и b образуют одинаковые углы с прямой c. Это условие выполняется для параллельных прямых, но не только для них.

Рассмотрим два основных случая:

1. Если прямые a и b параллельны ($ a \parallel b $) и их пересекает третья прямая c (секущая), то образованные соответственные углы равны. Угол между прямыми по определению является наименьшим из углов при их пересечении, поэтому из равенства соответственных углов следует и равенство углов между прямыми. То есть, если $ a \parallel b $, то $ \angle(a, c) = \angle(b, c) $. В этом случае утверждение верно.

2. Однако существует и другая конфигурация, удовлетворяющая условию. Рассмотрим контрпример, доказывающий, что обратное утверждение неверно. Пусть прямые a и b пересекаются в некоторой точке O. Проведем через эту же точку O прямую c так, чтобы она была биссектрисой одного из углов, образованных прямыми a и b. По определению биссектрисы, угол между прямой a и прямой c равен углу между прямой b и прямой c. Но при этом прямые a и b не параллельны, а пересекаются.

Для большей наглядности можно привести пример на координатной плоскости. Пусть прямая c совпадает с осью абсцисс ($ Ox $). Возьмем прямую a, заданную уравнением $ y = x $, и прямую b, заданную уравнением $ y = -x $.
Угол между прямой a и прямой c равен $ 45^\circ $.
Угол между прямой b и прямой c также равен $ 45^\circ $.
Таким образом, условие $ \angle(a, c) = \angle(b, c) $ выполнено. Однако прямые a и b не параллельны, а пересекаются в начале координат.

Следовательно, равенство углов, которые прямые a и b образуют с третьей прямой c, не является достаточным основанием для вывода об их параллельности.

Ответ: Нет, утверждать, что прямые a и b параллельны, нельзя.

352. Биссектрисы углов $BAC$ и $BCA$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым $AB$ и $BC$ и пересекающие сторону $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $MOK$ равен длине стороны $AC$.

353. Из восьми углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $b$ прямой $c$, четыре угла равны по $40^\circ$ и четыре угла равны по $140^\circ$. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $b$ параллельны?

При пересечении двух прямых секущей образуются углы. В каждой точке пересечения (там, где секущая c пересекает прямую a, и там, где c пересекает b) образуется по четыре угла. Эти четыре угла состоят из двух пар равных вертикальных углов, а смежные углы в сумме дают $180°$.

В условии задачи сказано, что среди восьми образовавшихся углов есть углы величиной $40°$ и $140°$. Заметим, что их сумма составляет $40° + 140° = 180°$. Это значит, что они являются смежными углами.

Рассмотрим пересечение прямой a и секущей c. Если один из углов равен $40°$, то вертикальный ему угол также равен $40°$. Два других угла, смежные с первым, будут равны $180° - 40° = 140°$. Таким образом, в одной точке пересечения образуются два угла по $40°$ и два угла по $140°$.

По условию, всего имеется четыре угла по $40°$ и четыре угла по $140°$. Поскольку на первое пересечение (прямой a и c) уже приходится два угла по $40°$ и два по $140°$, то на второе пересечение (прямой b и c) должны приходиться оставшиеся два угла по $40°$ и два угла по $140°$.

Таким образом, мы выяснили, что набор углов в обеих точках пересечения одинаков: два острых угла по $40°$ и два тупых по $140°$. Теперь мы можем проверить признаки параллельности прямых a и b.

Для того чтобы прямые a и b были параллельны, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Соответственные углы должны быть равны. Соответственные углы — это углы, занимающие одинаковое положение относительно прямых a, b и секущей c. Они всегда будут либо оба острыми (и равны $40°$), либо оба тупыми (и равны $140°$). В любом случае, они равны. Следовательно, прямые параллельны.

2. Накрест лежащие углы должны быть равны. Внутренние накрест лежащие углы также будут либо оба острыми (по $40°$), либо оба тупыми (по $140°$), а значит, они равны. Следовательно, прямые параллельны.

3. Сумма односторонних углов должна быть равна $180°$. Пара внутренних односторонних углов всегда будет состоять из одного острого угла ($40°$) и одного тупого ($140°$). Их сумма равна $40° + 140° = 180°$. Следовательно, прямые параллельны.

Поскольку все признаки параллельности прямых выполняются, можно однозначно утверждать, что прямые a и b параллельны.

Ответ: Да, можно утверждать, что прямые a и b параллельны.

353. На отрезке $AB$ отметили точку $C$ так, что $AC : BC = 2 : 1$. На отрезке $AC$ отметили точку $D$ так, что $AD : CD = 3 : 2$. В каком отношении точка $D$ делит отрезок $AB$?

354. Прямая пересекает биссектрису $BM$ треугольника $ABC$ в точке $O$, являющейся серединой отрезка $BM$, а сторону $BC$ — в точке $K$. Докажите, что если $OK \perp BM$, то $MK \parallel AB$.

Рассмотрим треугольник $BKM$.

По условию задачи, прямая, проходящая через точки $O$ и $K$, перпендикулярна биссектрисе $BM$ ($OK \perp BM$). Это значит, что отрезок $OK$ является высотой в треугольнике $BKM$, проведенной из вершины $K$ к стороне $BM$.

Также по условию, точка $O$ является серединой отрезка $BM$. Следовательно, отрезок $OK$ является медианой в треугольнике $BKM$, проведенной к стороне $BM$.

В треугольнике, в котором высота, проведенная к одной из сторон, является также и медианой к этой стороне, этот треугольник является равнобедренным. Таким образом, $\triangle BKM$ — равнобедренный с основанием $BM$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle KBM = \angle BMK$.

Из условия известно, что $BM$ — биссектриса угла $ABC$. По определению биссектрисы, $\angle ABM = \angle CBM$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $BC$, угол $CBM$ совпадает с углом $KBM$. Отсюда следует, что $\angle ABM = \angle KBM$.

Из равенств $\angle ABM = \angle KBM$ и $\angle KBM = \angle BMK$ получаем, что $\angle ABM = \angle BMK$.

Углы $\angle ABM$ и $\angle BMK$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $MK$ и секущей $BM$. Так как эти углы равны, то, по признаку параллельности прямых, $MK \parallel AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

354. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AB = BC = CD = AD$. Докажите, что $AC \perp BD$.

355. Отрезки $AM$ и $CK$ – медианы треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MF$, а на продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ – отрезок $KD$ так, что $MF = AM$, $KD = CK$. Докажите, что точки $B, D$ и $F$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырехугольник $ABFC$. По условию, $AM$ — медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $BC$, то есть $BM = MC$. Также по условию на продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MF$ так, что $MF = AM$. Это означает, что точка $M$ является и серединой отрезка $AF$. Таким образом, диагонали четырехугольника $ABFC$ (отрезки $AF$ и $BC$) пересекаются в точке $M$ и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма, четырехугольник $ABFC$ является параллелограммом. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны, значит, $BF \parallel AC$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ADBC$. По условию, $CK$ — медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $AB$, то есть $AK = KB$. Также по условию на продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ отложен отрезок $KD$ так, что $KD = CK$. Это означает, что точка $K$ является и серединой отрезка $CD$. Таким образом, диагонали четырехугольника $ADBC$ (отрезки $AB$ и $CD$) пересекаются в точке $K$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, четырехугольник $ADBC$ также является параллелограммом. Из этого следует, что $DB \parallel AC$.

Мы получили, что прямая $BF$ параллельна прямой $AC$, и прямая $DB$ также параллельна прямой $AC$. Обе эти прямые ($BF$ и $DB$) проходят через одну и ту же точку $B$. Согласно аксиоме параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые $BF$ и $DB$ совпадают. Это означает, что точки $B$, $D$ и $F$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

355. В треугольнике $MOE$ на стороне $MO$ отметили точку $A$, в треугольнике $TPK$ на стороне $TP$ – точку $B$ так, что $MA = TB$. Какова градусная мера угла $BKP$, если $MO = TP$, $\angle M = \angle T$, $\angle O = \angle P$, $\angle AEO = 17^\circ$?

Рис. 242

356. Луч $OC$ разбивает угол $AOB$ на два угла так, что $\angle AOC : \angle BOC = 3 : 5$. Найдите угол между лучом $OC$ и биссектрисой угла, смежного с углом $AOB$, если угол $BOC$ на $42^\circ$ больше угла $AOC$.

По условию задачи, отношение углов $\angle AOC$ к $\angle BOC$ равно $3:5$. Обозначим одну часть отношения как $x$. Тогда можно записать:

$\angle AOC = 3x$

$\angle BOC = 5x$

Также из условия известно, что угол $BOC$ на $42^\circ$ больше угла $AOC$. Составим и решим уравнение:

$\angle BOC - \angle AOC = 42^\circ$

$5x - 3x = 42^\circ$

$2x = 42^\circ$

$x = 21^\circ$

Теперь найдем градусные меры углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$:

$\angle AOC = 3 \cdot 21^\circ = 63^\circ$

$\angle BOC = 5 \cdot 21^\circ = 105^\circ$

Так как луч $OC$ разбивает угол $AOB$, то величина угла $AOB$ равна сумме величин углов $AOC$ и $BOC$:

$\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 63^\circ + 105^\circ = 168^\circ$

Угол, смежный с углом $AOB$, дополняет его до $180^\circ$. Найдем его величину. Пусть это будет угол $BOD$, где лучи $OA$ и $OD$ являются противоположными (лежат на одной прямой).

$\angle BOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$

Пусть луч $OM$ — биссектриса угла $BOD$. Биссектриса делит угол пополам, следовательно:

$\angle BOM = \frac{\angle BOD}{2} = \frac{12^\circ}{2} = 6^\circ$

Искомый угол — это угол между лучом $OC$ и биссектрисой $OM$, то есть $\angle COM$. Этот угол состоит из суммы углов $\angle BOC$ и $\angle BOM$.

$\angle COM = \angle BOC + \angle BOM = 105^\circ + 6^\circ = 111^\circ$

Ответ: $111^\circ$

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

357. На рисунке 251 $AB = BC$, $\angle ABK = \angle CBM$. Докажите, что $BM = BK$.

Рис. 251

Для доказательства равенства отрезков $BM$ и $BK$ рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$.

1. По условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это означает, что $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Так как точки $K$ и $M$ лежат на стороне $AC$, то $\angle BAK = \angle BCM$.

2. По условию задачи также известно, что $\angle ABK = \angle CBM$.

3. Сравним треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$. У них:
- $AB = BC$ (по условию),
- $\angle BAK = \angle BCM$ (как углы при основании равнобедренного треугольника),
- $\angle ABK = \angle CBM$ (по условию).

Таким образом, треугольник $\triangle ABK$ равен треугольнику $\triangle CBM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. Сторона $BK$ в треугольнике $\triangle ABK$ лежит напротив угла $\angle BAK$. Сторона $BM$ в треугольнике $\triangle CBM$ лежит напротив угла $\angle BCM$. Поскольку $\angle BAK = \angle BCM$, то и противолежащие им стороны $BK$ и $BM$ также равны.

Следовательно, $BM = BK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $BM = BK$.

357. Найдите угол треугольника, если два других его угла равны $35^\circ$ и $96^\circ$.