Номер 353, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 353, страница 104.

353. Из восьми углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $b$ прямой $c$, четыре угла равны по $40^\circ$ и четыре угла равны по $140^\circ$. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $b$ параллельны?

При пересечении двух прямых секущей образуются углы. В каждой точке пересечения (там, где секущая c пересекает прямую a, и там, где c пересекает b) образуется по четыре угла. Эти четыре угла состоят из двух пар равных вертикальных углов, а смежные углы в сумме дают $180°$.

В условии задачи сказано, что среди восьми образовавшихся углов есть углы величиной $40°$ и $140°$. Заметим, что их сумма составляет $40° + 140° = 180°$. Это значит, что они являются смежными углами.

Рассмотрим пересечение прямой a и секущей c. Если один из углов равен $40°$, то вертикальный ему угол также равен $40°$. Два других угла, смежные с первым, будут равны $180° - 40° = 140°$. Таким образом, в одной точке пересечения образуются два угла по $40°$ и два угла по $140°$.

По условию, всего имеется четыре угла по $40°$ и четыре угла по $140°$. Поскольку на первое пересечение (прямой a и c) уже приходится два угла по $40°$ и два по $140°$, то на второе пересечение (прямой b и c) должны приходиться оставшиеся два угла по $40°$ и два угла по $140°$.

Таким образом, мы выяснили, что набор углов в обеих точках пересечения одинаков: два острых угла по $40°$ и два тупых по $140°$. Теперь мы можем проверить признаки параллельности прямых a и b.

Для того чтобы прямые a и b были параллельны, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Соответственные углы должны быть равны. Соответственные углы — это углы, занимающие одинаковое положение относительно прямых a, b и секущей c. Они всегда будут либо оба острыми (и равны $40°$), либо оба тупыми (и равны $140°$). В любом случае, они равны. Следовательно, прямые параллельны.

2. Накрест лежащие углы должны быть равны. Внутренние накрест лежащие углы также будут либо оба острыми (по $40°$), либо оба тупыми (по $140°$), а значит, они равны. Следовательно, прямые параллельны.

3. Сумма односторонних углов должна быть равна $180°$. Пара внутренних односторонних углов всегда будет состоять из одного острого угла ($40°$) и одного тупого ($140°$). Их сумма равна $40° + 140° = 180°$. Следовательно, прямые параллельны.

Поскольку все признаки параллельности прямых выполняются, можно однозначно утверждать, что прямые a и b параллельны.

Ответ: Да, можно утверждать, что прямые a и b параллельны.

353. На отрезке $AB$ отметили точку $C$ так, что $AC : BC = 2 : 1$. На отрезке $AC$ отметили точку $D$ так, что $AD : CD = 3 : 2$. В каком отношении точка $D$ делит отрезок $AB$?