Номер 357, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 357, страница 104.

357. На рисунке 251 $AB = BC$, $\angle ABK = \angle CBM$. Докажите, что $BM = BK$.

Рис. 251

Для доказательства равенства отрезков $BM$ и $BK$ рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$.

1. По условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это означает, что $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Так как точки $K$ и $M$ лежат на стороне $AC$, то $\angle BAK = \angle BCM$.

2. По условию задачи также известно, что $\angle ABK = \angle CBM$.

3. Сравним треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$. У них:
- $AB = BC$ (по условию),
- $\angle BAK = \angle BCM$ (как углы при основании равнобедренного треугольника),
- $\angle ABK = \angle CBM$ (по условию).

Таким образом, треугольник $\triangle ABK$ равен треугольнику $\triangle CBM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. Сторона $BK$ в треугольнике $\triangle ABK$ лежит напротив угла $\angle BAK$. Сторона $BM$ в треугольнике $\triangle CBM$ лежит напротив угла $\angle BCM$. Поскольку $\angle BAK = \angle BCM$, то и противолежащие им стороны $BK$ и $BM$ также равны.

Следовательно, $BM = BK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $BM = BK$.

357. Найдите угол треугольника, если два других его угла равны $35^\circ$ и $96^\circ$.