Номер 356, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 356, страница 104.

356. Луч $OC$ разбивает угол $AOB$ на два угла так, что $\angle AOC : \angle BOC = 3 : 5$. Найдите угол между лучом $OC$ и биссектрисой угла, смежного с углом $AOB$, если угол $BOC$ на $42^\circ$ больше угла $AOC$.

По условию задачи, отношение углов $\angle AOC$ к $\angle BOC$ равно $3:5$. Обозначим одну часть отношения как $x$. Тогда можно записать:

$\angle AOC = 3x$

$\angle BOC = 5x$

Также из условия известно, что угол $BOC$ на $42^\circ$ больше угла $AOC$. Составим и решим уравнение:

$\angle BOC - \angle AOC = 42^\circ$

$5x - 3x = 42^\circ$

$2x = 42^\circ$

$x = 21^\circ$

Теперь найдем градусные меры углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$:

$\angle AOC = 3 \cdot 21^\circ = 63^\circ$

$\angle BOC = 5 \cdot 21^\circ = 105^\circ$

Так как луч $OC$ разбивает угол $AOB$, то величина угла $AOB$ равна сумме величин углов $AOC$ и $BOC$:

$\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 63^\circ + 105^\circ = 168^\circ$

Угол, смежный с углом $AOB$, дополняет его до $180^\circ$. Найдем его величину. Пусть это будет угол $BOD$, где лучи $OA$ и $OD$ являются противоположными (лежат на одной прямой).

$\angle BOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$

Пусть луч $OM$ — биссектриса угла $BOD$. Биссектриса делит угол пополам, следовательно:

$\angle BOM = \frac{\angle BOD}{2} = \frac{12^\circ}{2} = 6^\circ$

Искомый угол — это угол между лучом $OC$ и биссектрисой $OM$, то есть $\angle COM$. Этот угол состоит из суммы углов $\angle BOC$ и $\angle BOM$.

$\angle COM = \angle BOC + \angle BOM = 105^\circ + 6^\circ = 111^\circ$

Ответ: $111^\circ$

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?