Номер 355, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 355, страница 104.

355. Отрезки $AM$ и $CK$ – медианы треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MF$, а на продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ – отрезок $KD$ так, что $MF = AM$, $KD = CK$. Докажите, что точки $B, D$ и $F$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырехугольник $ABFC$. По условию, $AM$ — медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $BC$, то есть $BM = MC$. Также по условию на продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MF$ так, что $MF = AM$. Это означает, что точка $M$ является и серединой отрезка $AF$. Таким образом, диагонали четырехугольника $ABFC$ (отрезки $AF$ и $BC$) пересекаются в точке $M$ и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма, четырехугольник $ABFC$ является параллелограммом. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны, значит, $BF \parallel AC$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ADBC$. По условию, $CK$ — медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $AB$, то есть $AK = KB$. Также по условию на продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ отложен отрезок $KD$ так, что $KD = CK$. Это означает, что точка $K$ является и серединой отрезка $CD$. Таким образом, диагонали четырехугольника $ADBC$ (отрезки $AB$ и $CD$) пересекаются в точке $K$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, четырехугольник $ADBC$ также является параллелограммом. Из этого следует, что $DB \parallel AC$.

Мы получили, что прямая $BF$ параллельна прямой $AC$, и прямая $DB$ также параллельна прямой $AC$. Обе эти прямые ($BF$ и $DB$) проходят через одну и ту же точку $B$. Согласно аксиоме параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые $BF$ и $DB$ совпадают. Это означает, что точки $B$, $D$ и $F$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

355. В треугольнике $MOE$ на стороне $MO$ отметили точку $A$, в треугольнике $TPK$ на стороне $TP$ – точку $B$ так, что $MA = TB$. Какова градусная мера угла $BKP$, если $MO = TP$, $\angle M = \angle T$, $\angle O = \angle P$, $\angle AEO = 17^\circ$?

Рис. 242