Номер 347, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 347, страница 103.

347. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $AC \parallel BD$.

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD$.

По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $AO = OB$ и $CO = OD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AB$ и $CD$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны между собой: $\angle AOC = \angle BOD$.

Сравним треугольники $AOC$ и $BOD$. Мы имеем следующие равенства:
1. $AO = OB$ (из условия).
2. $CO = OD$ (из условия).
3. $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).
Таким образом, треугольник $AOC$ равен треугольнику $BOD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $(\triangle AOC = \triangle BOD)$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle OAC = \angle OBD$.

Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ с секущей $AB$. Углы $\angle OAC$ (он же $\angle CAB$) и $\angle OBD$ (он же $\angle ABD$) являются накрест лежащими углами.

Так как мы доказали, что накрест лежащие углы равны ($\angle CAB = \angle ABD$), то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $AC \parallel BD$.

347. Треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AC$. Через произвольную точку $M$ его биссектрисы $BD$ проведены прямые, параллельные его сторонам $AB$ и $BC$ и пересекающие отрезок $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $DE = DF$.