Номер 342, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Признаки параллельности двух прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 342, страница 103.

342. На рисунке 244 $\triangle ABC = \triangle DCE$, $AC = DE$. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 244

По условию задачи дано, что треугольники $ABC$ и $DCE$ равны: $\triangle ABC = \triangle DCE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов (углов и сторон). Согласно порядку вершин в записи равенства (вершина A соответствует вершине D, B соответствует C, C соответствует E), мы можем заключить, что соответствующие углы равны:

$\angle ABC = \angle DCE$

Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Прямая, проходящая через точки B и C, является для них секущей. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей. Чтобы доказать, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны, нужно показать, что сумма этих углов равна $180^\circ$.

Из рисунка 244 видно, что точки B, C и E лежат на одной прямой. Это означает, что угол $\angle BCE$ является развернутым, и его градусная мера составляет $180^\circ$.

Угол $\angle BCE$ состоит из двух смежных углов: $\angle BCD$ и $\angle DCE$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle BCD + \angle DCE = 180^\circ$

Ранее мы установили, что из равенства треугольников следует $\angle ABC = \angle DCE$. Заменим $\angle DCE$ на равный ему угол $\angle ABC$ в последнем уравнении:

$\angle BCD + \angle ABC = 180^\circ$

Так как сумма внутренних односторонних углов при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BC$ равна $180^\circ$, то по признаку параллельности прямых, прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

(Заметим, что дополнительное условие $AC = DE$ также является следствием равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle DCE$, поскольку сторона $AC$ соответствует стороне $DE$, и не несёт новой информации для доказательства).

Ответ: Утверждение о параллельности прямых $AB$ и $CD$ доказано.

342. Прямая, проведённая через вершину $A$ треугольника $ABC$ параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной $AC$ угол, равный углу $BAC$. Докажите, что данный треугольник – равнобедренный.