Страница 99 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какими должны быть накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были параллельными?

Для того чтобы две прямые, пересеченные третьей прямой (секущей), были параллельны, накрест лежащие углы, образованные при этом пересечении, должны быть равны. Это является одним из основных признаков параллельности прямых в евклидовой геометрии.

Формулировка соответствующей теоремы звучит так: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Математически это можно записать следующим образом: пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются секущей $c$. Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — пара накрест лежащих углов. Если выполняется равенство $\angle 1 = \angle 2$, то из этого следует, что прямые параллельны: $a \parallel b$.

Ответ: Накрест лежащие углы должны быть равны.

1. Какими должны быть накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были параллельными?

2. Какими должны быть односторонние углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были параллельными?

Односторонние углы — это пара углов, которые расположены по одну сторону от секущей и между двумя прямыми, которые эта секущая пересекает.

Для того чтобы две прямые были параллельны, сумма односторонних углов, образованных при пересечении этих прямых секущей, должна быть равна $180^{\circ}$. Это является одним из основных признаков параллельности прямых.

Докажем это утверждение. Пусть прямые a и b пересечены секущей c. Обозначим пару односторонних углов как $\angle 1$ и $\angle 2$. Требуется доказать, что если $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$, то прямые a и b параллельны.

Рассмотрим угол $\angle 3$, который является смежным с углом $\angle 2$. По свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180^{\circ}$:
$\angle 3 + \angle 2 = 180^{\circ}$

По условию, нам известно, что:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$

Приравнивая левые части этих двух равенств (поскольку их правые части равны $180^{\circ}$), получаем:
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 2$

Отсюда следует, что $\angle 1 = \angle 3$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых a и b секущей c. Существует признак параллельности прямых, который гласит: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Таким образом, мы доказали, что если сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, то прямые параллельны ($a \parallel b$).

Ответ: Сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, должна быть равна $180^{\circ}$.

2. Какими должны быть односторонние углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были параллельными?

3. Какими должны быть соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были параллельными?

Для того чтобы две прямые были параллельными, соответственные углы, образованные при пересечении этих прямых третьей прямой (секущей), должны быть равны. Это утверждение является одним из признаков параллельности прямых.

Рассмотрим две прямые, $a$ и $b$, и пересекающую их секущую $c$. При пересечении образуется 8 углов. Соответственными называются углы, которые лежат по одну сторону от секущей и занимают одинаковое положение относительно прямых $a$ и $b$ (например, оба находятся сверху от своих прямых и слева от секущей).

Если мы обозначим одну пару соответственных углов как $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $, то признак параллельности прямых формулируется следующим образом:

Если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей $c$ соответственные углы равны (т.е. $ \angle 1 = \angle 2 $), то прямые $a$ и $b$ параллельны ($ a \parallel b $).

Следовательно, условие равенства соответственных углов является достаточным для того, чтобы утверждать, что прямые параллельны.

Ответ: Соответственные углы должны быть равны.

3. Какими должны быть соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были параллельными?

331. Проведите две прямые $AB$ и $CD$. Проведите прямую $MK$, пересекающую каждую из прямых $AB$ и $CD$. Обозначьте точку пересечения прямых $AB$ и $MK$ буквой $O$, а прямых $CD$ и $MK$ буквой $E$. Заполните пропуски в тексте:

1) углы $AOM$ и ... соответственные;

2) углы $AOE$ и ... соответственные;

3) углы $AOE$ и ... накрест лежащие;

4) углы $AOE$ и ... односторонние.

Укажите, какими углами (соответственными, накрест лежащими или односторонними) являются:

1) $\angle BOM$ и $\angle DEM$;

2) $\angle BOE$ и $\angle DEM$;

3) $\angle BOE$ и $\angle OEC$

Для решения задачи представим геометрическую конструкцию: две прямые $AB$ и $CD$ пересечены третьей прямой (секущей) $MK$. Точка $O$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $MK$. Точка $E$ — это точка пересечения прямых $CD$ и $MK$. Углы будем рассматривать в соответствии с их стандартными определениями при пересечении прямых секущей.

Заполнение пропусков:

1) углы $\angle AOM$ и ... соответственные;
Соответственные углы — это углы, которые занимают одинаковое положение относительно пересекаемых прямых и секущей. Угол $\angle AOM$ находится в "верхнем левом" квадранте пересечения прямых $AB$ и $MK$. Соответствующий ему угол при пересечении прямых $CD$ и $MK$ также находится в "верхнем левом" квадранте, это угол $\angle CEO$.
Ответ: $\angle CEO$.

2) углы $\angle AOE$ и ... соответственные;
Угол $\angle AOE$ — это внутренний угол, расположенный в "нижнем левом" квадранте пересечения $AB$ и $MK$. Соответствующий ему угол при пересечении $CD$ и $MK$ также находится в "нижнем левом" квадранте. Если представить, что точка $K$ находится на прямой $MK$ ниже точки $E$, то этот угол будет $\angle CEK$.
Ответ: $\angle CEK$.

3) углы $\angle AOE$ и ... накрест лежащие;
Внутренние накрест лежащие углы расположены по разные стороны от секущей и между пересекаемыми прямыми. Угол $\angle AOE$ является внутренним и лежит слева от секущей $MK$. Значит, накрест лежащий ему угол должен быть внутренним и лежать справа от секущей. Это угол $\angle DEO$.
Ответ: $\angle DEO$.

4) углы $\angle AOE$ и ... односторонние.
Внутренние односторонние углы расположены по одну сторону от секущей и между пересекаемыми прямыми. Угол $\angle AOE$ является внутренним и лежит слева от секущей $MK$. Значит, односторонний ему угол также должен быть внутренним и лежать слева от секущей. Это угол $\angle CEO$.
Ответ: $\angle CEO$.

Определение типа углов:

1) $\angle BOM$ и $\angle DEM$;
Угол $\angle BOM$ находится в "верхнем правом" положении при пересечении прямой $AB$ секущей $MK$. Угол $\angle DEM$ находится в "верхнем правом" положении при пересечении прямой $CD$ той же секущей. Поскольку углы занимают одинаковое положение при разных пересечениях, они являются соответственными.
Ответ: соответственные.

2) $\angle BOE$ и $\angle DEM$;
Угол $\angle BOE$ — это внутренний угол, расположенный справа от секущей $MK$. Угол $\angle DEM$ — это внешний угол, также расположенный справа от секущей $MK$. Так как оба угла находятся по одну сторону от секущей $MK$, они являются односторонними. В данном контексте термин "односторонние" применяется к любым двум углам, лежащим по одну сторону от секущей (один при прямой $AB$, другой при $CD$).
Ответ: односторонние.

3) $\angle BOE$ и $\angle OEC$;
Угол $\angle BOE$ — это внутренний угол, расположенный справа от секущей $MK$. Угол $\angle OEC$ (или $\angle CEO$) — это внутренний угол, расположенный слева от секущей $MK$. Так как эти внутренние углы лежат по разные стороны от секущей, они являются накрест лежащими.
Ответ: накрест лежащие.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на $24^\circ$ меньше другого.