Страница 100 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

332. Начертите две прямые и проведите их секущую. Пронумеруйте углы, образованные при пересечении данных прямых секущей. Укажите среди этих углов все пары:

1) соответственных углов;

2) односторонних углов;

3) накрест лежащих углов.

Сначала начертим две произвольные прямые a и b и пересечем их третьей прямой c, которая называется секущей. При этом образуется восемь углов. Пронумеруем их так, как показано на рисунке.

Теперь, используя данную нумерацию, укажем все пары углов каждого типа.

1) соответственных углов;

Соответственные углы — это пары углов, которые занимают одинаковое положение относительно прямых a, b и секущей c. На нашем чертеже это следующие пары:
• левый верхний $\angle 1$ и левый верхний $\angle 5$;
• правый верхний $\angle 2$ и правый верхний $\angle 6$;
• правый нижний $\angle 3$ и правый нижний $\angle 7$;
• левый нижний $\angle 4$ и левый нижний $\angle 8$.
Всего существует четыре пары соответственных углов.
Ответ: ($\angle 1$, $\angle 5$), ($\angle 2$, $\angle 6$), ($\angle 3$, $\angle 7$), ($\angle 4$, $\angle 8$).

2) односторонних углов;

Односторонние углы (имеются в виду внутренние односторонние) — это пары углов, которые лежат между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c.
• Углы, лежащие слева от секущей: $\angle 4$ и $\angle 5$.
• Углы, лежащие справа от секущей: $\angle 3$ и $\angle 6$.
Всего существует две пары внутренних односторонних углов.
Ответ: ($\angle 4$, $\angle 5$), ($\angle 3$, $\angle 6$).

3) накрест лежащих углов.

Накрест лежащие углы (имеются в виду внутренние накрест лежащие) — это пары углов, которые лежат между прямыми a и b и по разные стороны от секущей c.
• Угол $\angle 4$ слева от секущей и угол $\angle 6$ справа от секущей.
• Угол $\angle 3$ справа от секущей и угол $\angle 5$ слева от секущей.
Всего существует две пары внутренних накрест лежащих углов.
Ответ: ($\angle 4$, $\angle 6$), ($\angle 3$, $\angle 5$).

332. На рисунке 232 $m \parallel n$, $p \parallel k$, $\angle 1 = 50^{\circ}$. Найдите $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$.

Рис. 232

333. Как называют углы $1$ и $2$, изображённые на рисунке $235$?

Рис. 235

а
Внутренние накрест лежащие углы

б
Односторонние внутренние углы

в
Соответственные углы

а) Углы 1 и 2 расположены между двумя пересекаемыми прямыми и по разные стороны от третьей прямой (секущей). Такие углы называются накрест лежащими.
Ответ: накрест лежащие углы.

б) Углы 1 и 2 на этом рисунке являются соответственными. Соответственными называют углы, которые расположены по одну сторону от секущей и занимают одинаковое положение относительно пересекаемых прямых. Например, оба могут быть верхними правыми углами при своих пересечениях.
Ответ: соответственные углы.

в) Углы 1 и 2 расположены по одну сторону от секущей и оба находятся между двумя пересекаемыми прямыми. Такие углы называют односторонними (или внутренними односторонними).
Ответ: односторонние углы.

333. Прямая, параллельная основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекает его боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $F$ соответственно. Докажите, что треугольник $DBF$ – равнобедренный.

334. На рисунке 236 укажите все пары накрест лежащих, односторонних и соответственных углов.

Рис. 236

Накрест лежащие углы:

Внутренние:

$(\angle MKO, \angle KTD)$

$(\angle EKO, \angle KTS)$

Внешние:

$(\angle CKM, \angle DTO)$

$(\angle CKE, \angle STO)$

Односторонние углы:

Внутренние:

$(\angle MKO, \angle KTS)$

$(\angle EKO, \angle KTD)$

Соответственные углы:

$(\angle CKM, \angle STC)$

$(\angle CKE, \angle CTD)$

$(\angle MKO, \angle STO)$

$(\angle EKO, \angle DTO)$

Для прямых ME и SD и секущей CO можно выделить следующие пары углов:

накрест лежащих
Это углы, которые лежат между двумя прямыми (ME и SD) и по разные стороны от секущей (CO). На рисунке это следующие пары:
1. $\angle MKT$ и $\angle STD$
2. $\angle EKT$ и $\angle KTS$
Ответ: $\angle MKT$ и $\angle STD$; $\angle EKT$ и $\angle KTS$.

односторонних
Это углы, которые лежат между двумя прямыми (ME и SD) и по одну сторону от секущей (CO). На рисунке это следующие пары:
1. $\angle MKT$ и $\angle KTS$
2. $\angle EKT$ и $\angle STD$
Ответ: $\angle MKT$ и $\angle KTS$; $\angle EKT$ и $\angle STD$.

соответственных
Это углы, которые лежат по одну сторону от секущей, при этом один из них находится между прямыми, а другой — вне этого промежутка, и они расположены одинаково относительно прямых (например, оба сверху слева). На рисунке это следующие пары:
1. $\angle MKC$ и $\angle KTS$
2. $\angle CKE$ и $\angle STD$
3. $\angle MKT$ и $\angle STO$
4. $\angle EKT$ и $\angle DTO$
Ответ: $\angle MKC$ и $\angle KTS$; $\angle CKE$ и $\angle STD$; $\angle MKT$ и $\angle STO$; $\angle EKT$ и $\angle DTO$.

334. На продолжениях сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ ($AB = BC$) за точки $A$ и $B$ отметили соответственно точки $P$ и $K$ так, что $PK \parallel AB$.

Докажите, что треугольник $KPC$ – равнобедренный.