Страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие две прямые называют параллельными?

1. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Это означает, что у них нет ни одной общей точки, как бы далеко их ни продолжали в обе стороны. Важным условием, которое часто подразумевается в планиметрии, но является ключевым в стереометрии, является то, что прямые должны лежать в одной плоскости.

Таким образом, полное и точное определение следующее: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если две прямые не пересекаются, но лежат в разных плоскостях, их называют скрещивающимися, а не параллельными.

Для обозначения параллельности прямых $a$ и $b$ используется специальный символ $ \parallel $. Запись $a \parallel b$ читается как «прямая $a$ параллельна прямой $b$».

Ответ: Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называют параллельными.

1. Какие две прямые называют параллельными?

2. Как читают запись $m \parallel n$?

Запись $m \parallel n$ является стандартным математическим обозначением, которое используется в геометрии для описания взаимного расположения двух прямых (или плоскостей).

Разберем эту запись по частям: - Буквы $m$ и $n$ — это названия двух различных геометрических объектов, чаще всего — прямых. - Символ $\parallel$ — это знак параллельности, который указывает на то, что прямые никогда не пересекутся, сколько бы их ни продолжали.

Таким образом, при чтении этой записи мы последовательно называем первый объект, затем указываем на их отношение (параллельность) и, наконец, называем второй объект.

Ответ: Запись $m \parallel n$ читается: "прямая $m$ параллельна прямой $n$".

2. Каким символом обозначают параллельность прямых?

3. Какие отрезки называют параллельными?

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Рассмотрим это определение подробнее. Сначала нужно понять, что такое параллельные прямые. Две прямые в плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки, сколько бы их ни продолжали.

Соответственно, чтобы определить, параллельны ли два отрезка, например отрезок $AB$ и отрезок $CD$, необходимо мысленно провести через каждый из них прямую. Пусть через отрезок $AB$ проходит прямая $a$, а через отрезок $CD$ — прямая $b$. Если прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то и отрезки $AB$ и $CD$, лежащие на этих прямых, называются параллельными.

Параллельность отрезков $AB$ и $CD$ обозначается так: $AB \parallel CD$.

Важно отметить, что параллельные отрезки могут иметь разную длину. Например, основания трапеции являются параллельными отрезками, но, как правило, имеют разную длину. Противоположные стороны прямоугольника или параллелограмма также являются примерами параллельных отрезков.

Ответ: Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

3. Как читают запись $m \parallel n$?

4. Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных третьей прямой?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два случая: когда все три прямые лежат в одной плоскости (задача планиметрии) и когда они находятся в трехмерном пространстве (задача стереометрии).

1. Взаимное расположение на плоскости

В планиметрии существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Пусть даны три прямые $a$, $b$ и $c$, лежащие в одной плоскости. По условию, прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$ ($a \perp c$), и прямая $b$ перпендикулярна прямой $c$ ($b \perp c$).
Прямая $c$ является секущей для прямых $a$ и $b$. При пересечении секущей $c$ с прямыми $a$ и $b$ образуются соответственные углы. Так как $a \perp c$ и $b \perp c$, оба этих угла являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.
Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $a \parallel b$.
Частным случаем является совпадение прямых $a$ и $b$, что также является вариантом параллельности.

Ответ: На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу.

2. Взаимное расположение в пространстве

В стереометрии возможны три варианта взаимного расположения двух прямых ($a$ и $b$), перпендикулярных третьей прямой ($c$).

• Параллельные прямые. Этот случай возникает, когда прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости. Тогда, как и в планиметрии, они будут параллельны ($a \parallel b$). Например, две колонны здания перпендикулярны плоскости земли и параллельны друг другу.
• Пересекающиеся прямые. Прямые $a$ и $b$ могут пересекаться. Классический пример — оси координат в трехмерном пространстве. Ось $Ox$ и ось $Oy$ обе перпендикулярны оси $Oz$ и пересекаются в начале координат.
• Скрещивающиеся прямые. Прямые $a$ и $b$ могут не пересекаться и не быть параллельными. Например, пусть прямая $c$ — это вертикальная ось. Прямая $a$ лежит на "полу" (в плоскости $z=0$) и перпендикулярна $c$. Прямая $b$ лежит на "потолке" (в плоскости $z=h$) и тоже перпендикулярна $c$, но направлена под углом к прямой $a$. В этом случае $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

Ответ: В пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

4. Какие отрезки называют параллельными?

5. Сформулируйте аксиому параллельности прямых.

5. Аксиома параллельности прямых, также известная как пятый постулат Евклида, является одним из фундаментальных положений евклидовой геометрии. Она определяет уникальность прямой, параллельной данной, и проходящей через заданную точку.

Формулировка аксиомы следующая:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Это утверждение можно разобрать подробнее. Если на плоскости задана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$), то существует единственная прямая $b$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Прямая $b$ проходит через точку $M$ ($M \in b$).
2. Прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$), то есть не пересекает ее.

Любая другая прямая, проходящая через точку $M$, обязательно пересечет прямую $a$. Эта аксиома является отличительной чертой евклидовой геометрии. В неевклидовых геометриях (например, в геометрии Лобачевского или Римана) этот постулат заменяется на другие, что приводит к построению совершенно иных геометрических систем.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

5. Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных третьей прямой?

6. Каково взаимное расположение двух прямых, параллельных третьей прямой?

Это утверждение является фундаментальной теоремой евклидовой геометрии, известной как свойство транзитивности параллельности прямых. Она гласит: две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Рассмотрим это утверждение более подробно. Пусть у нас есть три прямые, которые мы обозначим как $a$, $b$ и $c$.

Из условия задачи нам известно, что прямая $a$ параллельна прямой $c$ (что записывается как $a \parallel c$), и прямая $b$ также параллельна прямой $c$ ($b \parallel c$). Необходимо определить, как расположены прямые $a$ и $b$ относительно друг друга.

Для доказательства можно использовать метод от противного, который особенно нагляден для случая прямых на плоскости.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые на плоскости не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке. Назовем эту точку $M$.

В таком случае получается, что через точку $M$ проходят две различные прямые ($a$ и $b$), и обе они по условию параллельны третьей прямой $c$.

Это напрямую противоречит аксиоме о параллельных прямых (известной также как пятый постулат Евклида), которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Поскольку мы пришли к противоречию, наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны.

Этот же вывод справедлив и для прямых в трехмерном пространстве. Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они также параллельны друг другу. Они не могут пересекаться (доказательство аналогично случаю на плоскости) и не могут быть скрещивающимися.

Таким образом, взаимное расположение двух прямых, параллельных третьей прямой, — это параллельность.

Ответ: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

6. Сформулируйте аксиому параллельности прямых.

313. Перерисуйте в тетрадь рисунок 225. Проведите через каждую из точек $A$ и $B$ прямую, параллельную прямой $m$.

Рис. 225

а

$m$, $A$, $B$

б

$m$, $A$, $B$

в

$m$, $B$, $A$

Чтобы провести прямую, параллельную данной прямой $m$, через заданную точку ($A$ или $B$), нужно определить, как прямая $m$ проходит относительно узлов сетки (определить ее "шаг"), и затем воспроизвести этот же "шаг" от заданной точки, чтобы найти вторую точку для построения искомой прямой.

а

1. Анализируем прямую $m$. Чтобы переместиться из одной точки на прямой, расположенной в узле сетки, в другую, нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз.
2. Для построения прямой через точку $A$: отложим от точки $A$ 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Получим вторую точку. Проведем через точку $A$ и новую точку прямую.
3. Аналогично для точки $B$: отложим от точки $B$ 2 клетки вправо и 1 клетку вниз, получим вторую точку, и проведем через нее и точку $B$ прямую.

Ответ: Построенные прямые, параллельные прямой $m$, показаны на рисунке.

б

1. На данном рисунке прямая $m$ является вертикальной.
2. Любая прямая, параллельная вертикальной прямой, также является вертикальной.
3. Следовательно, чтобы провести прямые, параллельные $m$, через точки $A$ и $B$, нужно просто провести вертикальные прямые через эти точки.

Ответ: Построенные вертикальные прямые, параллельные прямой $m$, показаны на рисунке.

в

1. Анализируем прямую $m$. Она проходит по диагоналям клеток сетки, то есть при смещении на 1 клетку вправо происходит смещение на 1 клетку вверх.
2. Для построения прямой через точку $A$: отложим от точки $A$ 1 клетку вправо и 1 клетку вверх, получим вторую точку, и соединим их прямой.
3. Аналогично для точки $B$: отложим от точки $B$ 1 клетку вправо и 1 клетку вверх и проведем прямую через эти две точки.

Ответ: Построенные прямые, параллельные прямой $m$, показаны на рисунке.

313. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $AC \parallel BD$.

314. Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне.

Для решения этой задачи необходимо выполнить построение и проанализировать полученную геометрическую фигуру.

Построение:

1. Начертим произвольный треугольник и обозначим его вершины как $A$, $B$ и $C$.
2. Через каждую вершину треугольника проведем прямую, параллельную противолежащей стороне:
   • Через вершину $A$ проведем прямую, параллельную стороне $BC$.
   • Через вершину $B$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$.
   • Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$.
3. Эти три новые прямые пересекутся в трех точках, образуя новый, больший треугольник. Обозначим его вершины как $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Вершина $A_1$ будет лежать напротив стороны $B_1C_1$, и так далее.

Ниже представлен результат построения:

Анализ полученной фигуры:

Пусть вершины исходного треугольника – $A, B, C$, а вершины нового треугольника – $A_1, B_1, C_1$. Вершина $A_1$ – это точка пересечения прямых, проведенных через $B$ и $C$. Вершина $B_1$ – точка пересечения прямых, проведенных через $A$ и $C$. Вершина $C_1$ – точка пересечения прямых, проведенных через $A$ и $B$.

По построению имеем следующие параллельные прямые:

• $B_1C_1 \parallel BC$
• $A_1C_1 \parallel AC$
• $A_1B_1 \parallel AB$

Рассмотрим четырехугольники, образованные сторонами исходного и нового треугольников:

• Четырехугольник $ABCB_1$: так как $AB \parallel CB_1$ и $BC \parallel AB_1$ по построению, то $ABCB_1$ – параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: $AB_1 = BC$ и $CB_1 = AB$.
• Четырехугольник $ACBC_1$: так как $AC \parallel BC_1$ и $BC \parallel AC_1$ по построению, то $ACBC_1$ – параллелограмм. Следовательно, $AC_1 = BC$ и $BC_1 = AC$.
• Четырехугольник $BC A_1 C$: так как $AB \parallel A_1C$ и $AC \parallel A_1B$, то $ABA_1C$ – параллелограмм. Следовательно, $A_1B = AC$ и $A_1C = AB$.

Докажем, что вершины исходного треугольника $ABC$ являются серединами сторон нового треугольника $A_1B_1C_1$:

• Точка A – середина стороны $B_1C_1$. Из свойств параллелограммов $ABCB_1$ и $ACBC_1$ имеем $AB_1 = BC$ и $AC_1 = BC$. Отсюда следует, что $AB_1 = AC_1$. Так как точка $A$ лежит на отрезке $B_1C_1$, то $A$ – его середина.
• Точка B – середина стороны $A_1C_1$. Из свойств параллелограммов $ABA_1C$ и $ACBC_1$ имеем $A_1B = AC$ и $C_1B = AC$. Отсюда следует, что $A_1B = C_1B$. Так как точка $B$ лежит на отрезке $A_1C_1$, то $B$ – его середина.
• Точка C – середина стороны $A_1B_1$. Из свойств параллелограммов $ABA_1C$ и $ABCB_1$ имеем $A_1C = AB$ и $B_1C = AB$. Отсюда следует, что $A_1C = B_1C$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $A_1B_1$, то $C$ – его середина.

Таким образом, стороны исходного треугольника $ABC$ являются средними линиями нового треугольника $A_1B_1C_1$. Также можно заметить, что большой треугольник $A_1B_1C_1$ состоит из четырех треугольников, равных исходному треугольнику $\triangle ABC$. Это треугольники $\triangle ABC, \triangle AB_1C, \triangle BC_1A, \triangle CA_1B$.

Ответ: В результате построения образуется новый треугольник, для которого вершины исходного треугольника являются серединами его сторон.

314. На рисунке 219 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите. что $AB \parallel CD$.

Рис. 219