Страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Треугольник является остроугольным, если

А) среди его углов нет тупого

Б) каждый его угол меньше прямого

В) среди его углов нет прямого

Г) каждый его угол меньше тупого

Остроугольным называется треугольник, у которого все три внутренних угла являются острыми. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше прямого угла ($90^\circ$). Проанализируем каждый из предложенных вариантов, чтобы найти правильное определение.

А) среди его углов нет тупого
Это утверждение не является достаточным. Если в треугольнике нет тупого угла (угла $> 90^\circ$), он может быть прямоугольным. Например, треугольник с углами $90^\circ$, $60^\circ$ и $30^\circ$ не имеет тупых углов, но он не является остроугольным, так как один из его углов — прямой.

Б) каждый его угол меньше прямого
Прямой угол равен $90^\circ$. Утверждение, что каждый угол треугольника меньше прямого, означает, что каждый из трех углов меньше $90^\circ$. Это полностью соответствует определению остроугольного треугольника. Следовательно, это утверждение является верным.

В) среди его углов нет прямого
Это утверждение также не является достаточным. Если в треугольнике нет прямого угла ($90^\circ$), он может быть тупоугольным, то есть иметь один тупой угол. Например, треугольник с углами $120^\circ$, $40^\circ$ и $20^\circ$ не имеет прямого угла, но он является тупоугольным, а не остроугольным.

Г) каждый его угол меньше тупого
Это утверждение некорректно и неточно. Тупой угол — это любой угол, который больше $90^\circ$. Прямоугольный треугольник с углами $90^\circ$, $45^\circ$ и $45^\circ$ удовлетворяет этому условию (так как ни один из его углов не является тупым, а значит, каждый из них меньше любого тупого угла), но он не является остроугольным.

Таким образом, единственное верное и полное определение остроугольного треугольника среди предложенных вариантов — это то, в котором каждый угол меньше прямого.

Ответ: Б

1. Треугольник является остроугольным, если

А) среди его углов нет тупого

Б) каждый его угол меньше прямого

В) среди его углов нет прямого

Г) каждый его угол меньше тупого

2. Если высота треугольника ему не принадлежит, то этот треугольник является

А) прямоугольным

Б) тупоугольным

В) равносторонним

Г) остроугольным

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит противолежащую сторону. Рассмотрим, как располагаются высоты в различных типах треугольников.

1. Остроугольный треугольник (Г): Все углы такого треугольника меньше $90^\circ$. В этом случае все три высоты полностью находятся внутри треугольника. Основания высот лежат на сторонах треугольника.

2. Прямоугольный треугольник (А): Один угол равен $90^\circ$. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, лежит внутри треугольника. Две другие высоты совпадают со сторонами треугольника (катетами). Таким образом, все высоты принадлежат треугольнику.

3. Равносторонний треугольник (В): Является частным случаем остроугольного треугольника, так как все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, все его высоты находятся внутри треугольника.

4. Тупоугольный треугольник (Б): Один из углов больше $90^\circ$. Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника. Однако высоты, проведенные из двух других вершин (вершин острых углов), опускаются на продолжения противолежащих сторон. Это означает, что эти две высоты лежат вне треугольника.

Таким образом, если высота треугольника ему не принадлежит, это означает, что треугольник имеет тупой угол.

Б) тупоугольным
В тупоугольном треугольнике две из трех высот (проведенные из вершин острых углов) лежат вне треугольника, так как их основания попадают на продолжения сторон.Ответ: тупоугольным

каждый его угол меньше тупого

2. Если высота треугольника ему не принадлежит, то этот треугольник является:

А) прямоугольным

Б) тупоугольным

В) равносторонним

Г) остроугольным

3. Два треугольника равны, если

А) две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника

Б) два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника

В) две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника

Г) две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника

Для того чтобы определить, при каком условии два треугольника равны, необходимо вспомнить признаки равенства треугольников. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника

Это условие не гарантирует равенства треугольников. Если мы возьмем два отрезка и соединим их концы, то длина третьего отрезка (третьей стороны треугольника) будет зависеть от угла между первыми двумя. Если этот угол разный, то и треугольники будут разными. Например, пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AB = 5$, $AC = 6$, а в треугольнике $A_1B_1C_1$ стороны $A_1B_1 = 5$, $A_1C_1 = 6$. Если $\angle A = 30^\circ$, а $\angle A_1 = 45^\circ$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ не будут равны. Таким образом, равенства двух сторон недостаточно.
Ответ: неверно.

Б) два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то и третий угол у них будет равен (так как сумма углов треугольника всегда $180^\circ$). Такие треугольники являются подобными, то есть их стороны пропорциональны, а углы равны. Однако они не обязательно равны по размеру. Например, один треугольник может быть увеличенной или уменьшенной копией другого. Это второй признак подобия треугольников, но не признак их равенства.
Ответ: неверно.

В) две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника

Эта формулировка является неточной и в общем случае неверна. Если равный угол не заключен между двумя равными сторонами (так называемый случай "сторона-сторона-угол" или ССУ), то равенство треугольников не гарантируется. Например, если известны стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$, то в некоторых случаях можно построить два разных треугольника, удовлетворяющих этим условиям. Поэтому это не является признаком равенства треугольников.
Ответ: неверно.

Г) две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника

Это утверждение является точной формулировкой первого признака равенства треугольников. Он гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Это один из основных постулатов евклидовой геометрии. Пусть в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$, сторона $AC$ равна стороне $A_1C_1$, и угол $\angle A$ между ними равен углу $\angle A_1$. Тогда $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.
Ответ: верно.

3. Два треугольника равны, если

А) две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника

Б) два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника

В) две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника

Г) две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника

4. Сколько пар равных треугольников изображено на рисунке?

А) 1

Б) 2

В) 3

Г) 4

На рисунке изображен четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, что обозначено одинаковыми штрихами на соответствующих отрезках. Такой четырехугольник является параллелограммом. Обозначим его вершины A, B, C, D, а точку пересечения диагоналей — O. Согласно отметкам на рисунке, мы имеем $AO = OC$ и $BO = OD$.

Найдем все пары равных треугольников:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. У них стороны $AO = OC$ и $BO = OD$ по условию, а углы $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные. Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Это первая пара равных треугольников.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. У них стороны $BO = OD$ и $OC = OA$ по условию, а углы $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные. Следовательно, $\triangle BOC \cong \triangle DOA$ по первому признаку равенства треугольников. Это вторая пара равных треугольников.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Из предыдущих равенств следует, что $AB = CD$ и $BC = DA$ (как соответствующие стороны равных треугольников). Сторона $AC$ у них общая. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Это третья пара равных треугольников.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. У них стороны $AB = CD$ и $AD = CB$ (как доказано выше), а сторона $BD$ — общая. Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle CDB$ по третьему признаку равенства треугольников. Это четвертая пара равных треугольников.

Таким образом, на рисунке можно найти 4 пары равных треугольников.

Ответ: Г) 4

4. Сколько пар равных треугольников изображено на рисунке?
А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

5. Известно, что точка $M$ – середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. На луче $BM$ вне треугольника отложили отрезок $ME$, равный отрезку $BM$. Найдите $EC$, если $AB = 4,2$ см.

А) 2,1 см

Б) 4,2 см

В) 4,8 см

Г) 8,4 см

Для нахождения длины отрезка $EC$ рассмотрим два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CEM$.

Сравним эти треугольники по их элементам, используя данные из условия задачи:

1. Стороны $AM$ и $MC$ равны ($AM = MC$), так как точка $M$ является серединой стороны $AC$.

2. Стороны $BM$ и $ME$ равны ($BM = ME$), так как по условию на луче $BM$ был отложен отрезок $ME$, равный $BM$.

3. Углы $\angle AMB$ и $\angle CME$ равны ($\angle AMB = \angle CME$), поскольку они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $BE$.

Таким образом, две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle ABM$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle CEM$). Согласно первому признаку равенства треугольников, эти треугольники равны: $\triangle ABM \cong \triangle CEM$.

Из того, что треугольники равны, следует, что их соответствующие стороны также равны. Сторона $EC$ в треугольнике $\triangle CEM$ лежит напротив угла $\angle CME$. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle ABM$ лежит напротив угла $\angle AMB$. Так как $\angle CME = \angle AMB$, то стороны $EC$ и $AB$ являются соответствующими.

Следовательно, их длины равны: $EC = AB$.

По условию задачи дано, что $AB = 4,2$ см. Значит, и $EC = 4,2$ см.

Ответ: Б) 4,2 см.

A) 1Б) 2В) 3Г) 4

5. Известно, что $M$ – середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. На луче $BM$ вне треугольника отложили отрезок $ME$, равный отрезку $BM$. Найдите $EC$, если $AB = 4,2$ см.

A) 2,1 см

Б) 4,2 см

В) 4,8 см

Г) 8,4 см

6. Какое из следующих утверждений истинно?

А) равнобедренный треугольник — частный случай разностороннего треугольника

Б) равносторонний треугольник — частный случай разностороннего треугольника

В) равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника

Г) равнобедренный треугольник — частный случай разностороннего треугольника

Для ответа на этот вопрос, давайте определим каждый тип треугольника, упомянутый в вариантах:

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Если стороны треугольника обозначить как $a, b, c$, то для разностороннего треугольника будет верно, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $a \neq c$.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого по крайней мере две стороны равны по длине. Используя те же обозначения, это означает, что выполняется хотя бы одно из условий: $a = b$ или $b = c$ или $a = c$.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. То есть, $a = b = c$.

Теперь проанализируем каждое утверждение:

А) равнобедренный треугольник — частный случай разностороннего треугольника

Это утверждение ложно. У разностороннего треугольника все стороны должны быть разной длины, в то время как у равнобедренного как минимум две стороны равны. Эти два определения являются взаимоисключающими.
Ответ: Ложь.

Б) равносторонний треугольник — частный случай разностороннего треугольника

Это утверждение ложно. У равностороннего треугольника все три стороны равны, а у разностороннего — все три стороны разные. Эти определения также взаимоисключающие.
Ответ: Ложь.

В) равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника

Это утверждение истинно. Определение равнобедренного треугольника требует, чтобы как минимум две стороны были равны. В равностороннем треугольнике равны все три стороны ($a=b=c$), что, безусловно, удовлетворяет условию равенства как минимум двух сторон. Следовательно, каждый равносторонний треугольник также является равнобедренным, представляя собой его особый, частный случай.
Ответ: Истина.

Г) равнобедренный треугольник — частный случай равностороннего треугольника

Это утверждение ложно. Оно является обратным к верному утверждению В). Не каждый равнобедренный треугольник является равносторонним. Например, треугольник со сторонами $5, 5, 7$ является равнобедренным, но не равносторонним, так как третья сторона не равна двум другим.
Ответ: Ложь.

Таким образом, единственное истинное утверждение — В.

6. Какое из следующих утверждений истинно?

А) равнобедренный треугольник — частный случай разностороннего треугольника

Б) равносторонний треугольник — частный случай разностороннего треугольника

В) равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника

Г) равнобедренный треугольник — частный случай равностороннего треугольника