Страница 84 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

286. На рисунке 211 $AB = KE$, $BC = KM$, $AM = EC$. Докажите, что $\angle AMK = \angle BCE$.

Рис. 211

Для доказательства равенства углов $∠AMK$ и $∠BCE$ рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△EKM$.

По условию задачи нам даны следующие равенства отрезков: $AB = KE$, $BC = KM$ и $AM = EC$.

Сравним стороны $AC$ и $EM$ этих треугольников. Из рисунка следует, что точки $A, M, C, E$ лежат на одной прямой. Длину отрезка $AC$ можно представить как сумму длин отрезков $AM$ и $MC$: $AC = AM + MC$. Аналогично, длина отрезка $EM$ равна сумме длин отрезков $EC$ и $MC$: $EM = EC + MC$.

Поскольку по условию $AM = EC$, мы можем заключить, что $AC = AM + MC = EC + MC = EM$. Таким образом, третья сторона треугольника $△ABC$ равна третьей стороне треугольника $△EKM$.

Итак, мы установили, что в треугольниках $△ABC$ и $△EKM$ три стороны соответственно равны:
1. $AB = EK$ (по условию)
2. $BC = KM$ (по условию)
3. $AC = EM$ (доказано выше)
Следовательно, $△ABC ≅ △EKM$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

В равных треугольниках соответственные углы равны. Угол $∠BCA$ в треугольнике $△ABC$ лежит напротив стороны $AB$. Угол $∠KME$ в треугольнике $△EKM$ лежит напротив стороны $EK$. Так как $AB = EK$, то и противолежащие им углы равны: $∠BCA = ∠KME$.

Так как точки $A, M, C, E$ лежат на одной прямой, угол $∠BCA$ является тем же углом, что и $∠BCE$. Аналогично, угол $∠KME$ является тем же углом, что и $∠AMK$.
Из этого следует, что $∠AMK = ∠BCE$.

Ответ: Равенство $∠AMK = ∠BCE$ доказано.

286. Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противолежащей стороне.

287. На рисунке 212 $AB = CD$, $BC = AD$, $BM$ - биссектриса угла $ABC$, $DK$ - биссектриса угла $ADC$. Докажите, что $\triangle ABM = \triangle CDK$.

Рис. 212

Докажите, что $ \triangle ABM = \triangle CDK $

1. Сначала определим вид четырехугольника $ABCD$. По условию задачи, его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

2. Воспользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме противолежащие углы равны. Таким образом, $ \angle ABC = \angle ADC $ и $ \angle BAD = \angle BCD $.

3. По условию, $BM$ — биссектриса угла $ABC$, а $DK$ — биссектриса угла $ADC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Отсюда следует:
$ \angle ABM = \frac{1}{2} \angle ABC $
$ \angle CDK = \frac{1}{2} \angle ADC $
Так как $ \angle ABC = \angle ADC $, то и половины этих углов равны между собой: $ \angle ABM = \angle CDK $.

4. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CDK $ и докажем их равенство по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам):
- $AB = CD$ по условию задачи.
- $ \angle BAM = \angle DCK $, так как это противолежащие углы $ \angle BAD $ и $ \angle BCD $ параллелограмма $ABCD$.
- $ \angle ABM = \angle CDK $, как было доказано в предыдущем пункте.

Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AB$, $ \angle BAM $, $ \angle ABM $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($CD$, $ \angle DCK $, $ \angle CDK $), то треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CDK $ равны.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABM $ и $ \triangle CDK $ доказано.

287. Перерисуйте в тетрадь рисунок 200. Проведите через точку $B$ прямую $m$, параллельную прямой $AC$, а через точку $D$ — прямую $n$, параллельную прямой $AC$. Каково взаимное расположение прямых $m$ и $n$?

Рис. 200

288. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $OA = OD$.

Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DCB$.

Доказательство

По условию задачи дано, что отрезки $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$) и пересекаются в точке $O$. Также известно, что части этих отрезков равны: $OA = OD$. Требуется доказать, что треугольник $ABC$ равен треугольнику $DCB$.

1. Поскольку точка $O$ лежит на отрезках $AB$ и $CD$, длины этих отрезков можно представить в виде суммы длин их частей: $AB = OA + OB$ и $CD = OC + OD$.

2. Из условия $AB = CD$ следует, что $OA + OB = OC + OD$.

3. Используя второе условие, $OA = OD$, подставим его в предыдущее равенство: $OD + OB = OC + OD$. Вычитая из обеих частей равенства отрезок $OD$, получаем $OB = OC$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Так как его стороны $OB$ и $OC$ равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle OBC = \angle OCB$.

5. Углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$ являются также углами треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ соответственно. То есть, $\angle ABC = \angle OBC$ и $\angle DCB = \angle OCB$. Следовательно, $\angle ABC = \angle DCB$.

6. Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ по элементам:

• $AB = DC$ (по условию задачи).
• $\angle ABC = \angle DCB$ (доказано в пункте 5).
• $BC$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $\triangle DCB$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle DCB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\triangle ABC = \triangle DCB$ доказано.

288. Можно ли провести прямую, которая была бы параллельна каждой из пересекающихся прямых $a$ и $b$?

289. Отрезки $BD$ и $B_1D_1$ – биссектрисы треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно, $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. По условию задачи стороны этих треугольников соответственно равны: $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$ и $AD = A_1D_1$. Таким образом, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Поскольку отрезки $BD$ и $B_1D_1$ являются биссектрисами углов $\angle ABC$ и $\angle A_1B_1C_1$ соответственно, то $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABD$ и $\angle A_1B_1C_1 = 2 \cdot \angle A_1B_1D_1$. Так как из предыдущего пункта $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$, то и полные углы равны: $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ (по условию), а прилежащие к ней углы соответственно равны: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ доказано.

289. Прямая $a$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Может ли прямая $a$ быть параллельной стороне $AC$? Стороне $BC$?

290. Отрезки $AM$ и $A_1M_1$ – медианы треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно, $AB = A_1B_1$, $BM = B_1M_1$, $AM = A_1M_1$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. Согласно условию задачи, у этих треугольников:
1) сторона $ AB $ равна стороне $ A_1B_1 $;
2) сторона $ BM $ равна стороне $ B_1M_1 $;
3) сторона $ AM $ равна стороне $ A_1M_1 $.
Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Так как треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ равны, то равны и их соответствующие углы. В частности, $ \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 $, что означает $ \angle B = \angle B_1 $.

По определению, медиана $ AM $ в треугольнике $ \triangle ABC $ делит сторону $ BC $ пополам, то есть $ BC = 2 \cdot BM $. Аналогично, медиана $ A_1M_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1C_1 $ делит сторону $ B_1C_1 $ пополам, то есть $ B_1C_1 = 2 \cdot B_1M_1 $.
Из условия известно, что $ BM = B_1M_1 $. Умножив обе части этого равенства на 2, получим $ 2 \cdot BM = 2 \cdot B_1M_1 $, откуда следует, что $ BC = B_1C_1 $.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Сравним их элементы:
1. $ AB = A_1B_1 $ (по условию).
2. $ BC = B_1C_1 $ (доказано выше).
3. $ \angle B = \angle B_1 $ (доказано выше), и этот угол находится между сторонами $ AB $, $ BC $ и $ A_1B_1 $, $ B_1C_1 $ соответственно.
Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

290. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Можно ли провести такую прямую $c$, которая была бы параллельна прямой $a$ и пересекала прямую $b$?

291. Коля утверждает, что ему удалось сделать рисунок, на котором $AB = AC$ и $AM = AN$ (рис. 213). Прав ли Коля?

Рис. 213

Коля не прав. Сделать рисунок, удовлетворяющий всем указанным условиям, невозможно. Вот развернутое доказательство этого утверждения.

Доказательство будем проводить методом от противного, предположив, что такой рисунок существует, и придя к противоречию.

1. По условию $AB = AC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Обозначим величину этих углов через $\beta$. Сумма двух этих углов в треугольнике $ABC$ должна быть меньше $180^\circ$, то есть $2\beta < 180^\circ$, откуда следует, что $\beta < 90^\circ$.

2. Точки B, M, C, N лежат на одной прямой, причем в порядке, указанном на рисунке. Угол $\angle ACN$ является смежным с углом $\angle ACB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle ACN = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - \beta$. Поскольку мы установили, что $\beta < 90^\circ$, то угол $\angle ACN$ будет тупым, то есть $\angle ACN > 90^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $ACN$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол $\angle ACN$ тупой, он является наибольшим углом в треугольнике $ACN$. Сторона $AN$ лежит напротив этого угла, следовательно, $AN$ — это самая длинная сторона в треугольнике $ACN$. Отсюда следует неравенство $AN > AC$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. Угол $\angle AMB$ является внешним для треугольника $AMC$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AMB = \angle MAC + \angle MCA$. Так как $\angle MCA$ — это угол $\angle ACB = \beta$, а $\angle MAC$ — это угол треугольника, то есть его величина положительна ($\angle MAC > 0^\circ$), мы можем заключить, что $\angle AMB > \beta$. В треугольнике $ABM$ угол $\angle ABM$ также равен $\beta$. Таким образом, мы получили, что в треугольнике $ABM$ угол $\angle AMB$ больше угла $\angle ABM$.

5. В треугольнике $ABM$ напротив большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle AMB > \angle ABM$, то сторона $AB$, лежащая напротив угла $\angle AMB$, больше стороны $AM$, лежащей напротив угла $\angle ABM$. То есть, $AB > AM$.

6. Объединим полученные результаты. Из пункта 3 мы имеем $AN > AC$. Из пункта 5 мы имеем $AB > AM$. По условию задачи $AB = AC$. Мы можем составить следующую цепочку неравенств: $AN > AC = AB > AM$. Из этой цепочки напрямую следует, что $AN > AM$.

Полученное неравенство $AN > AM$ противоречит утверждению Коли, что ему удалось сделать рисунок, на котором $AM = AN$. Следовательно, исходное предположение о том, что такой рисунок возможен, было неверным.

Ответ: Коля не прав.

291. Являются ли два отрезка параллельными, если они не имеют общих точек?

292. Будут ли два треугольника равными, если каждой стороне одного треугольника равна некоторая сторона другого треугольника?

Да, два таких треугольника будут равными.

Рассмотрим два треугольника, назовем их $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Условие "каждой стороне одного треугольника равна некоторая сторона другого треугольника" означает, что набор длин сторон первого треугольника (длины отрезков $AB$, $BC$, $AC$) совпадает с набором длин сторон второго треугольника (длины отрезков $A_1B_1$, $B_1C_1$, $A_1C_1$). Например, если стороны $\triangle ABC$ имеют длины 3, 4 и 5, то и стороны $\triangle A_1B_1C_1$ будут иметь те же длины 3, 4 и 5.

Это означает, что мы можем сопоставить стороны двух треугольников так, чтобы они были соответственно равны. То есть, после возможного переименования вершин второго треугольника, будут выполняться равенства: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$.

Данное условие является точной формулировкой третьего признака равенства треугольников (по трём сторонам). Этот признак гласит: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Так как условие задачи совпадает с условием этого признака, то треугольники равны.

Ответ: Да, будут.

292. Верно ли, что из точки, не принадлежащей данной прямой, можно провести только один луч, параллельный данной прямой?

293. Докажите равенство двух треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Пусть даны два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых равны две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне.

Дано:

• $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
• $AB = A_1B_1$
• $AC = A_1C_1$
• $AM$ — медиана к стороне $BC$
• $A_1M_1$ — медиана к стороне $B_1C_1$
• $AM = A_1M_1$

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. На луче $AM$ отложим отрезок $MD$, равный $AM$, так что $AD = 2AM$. Соединим точку $D$ с точкой $B$. Аналогично, на луче $A_1M_1$ отложим отрезок $M_1D_1$, равный $A_1M_1$, так что $A_1D_1 = 2A_1M_1$. Соединим точку $D_1$ с точкой $B_1$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению, $AM = MD$. Поскольку $AM$ — медиана, то $BM = MC$. Так как диагонали четырехугольника $ABDC$ точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, следовательно, $BD = AC$.

3. Аналогично доказывается, что четырехугольник $A_1B_1D_1C_1$ является параллелограммом, и, следовательно, $B_1D_1 = A_1C_1$.

4. Теперь сравним треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

• $AB = A_1B_1$ по условию.
• $BD = AC$ (из свойства параллелограмма $ABDC$) и $B_1D_1 = A_1C_1$ (из свойства параллелограмма $A_1B_1D_1C_1$). Так как по условию $AC = A_1C_1$, то $BD = B_1D_1$.
• $AD = 2AM$ и $A_1D_1 = 2A_1M_1$ по построению. Так как по условию $AM = A_1M_1$, то $AD = A_1D_1$.

Таким образом, $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$ по трем сторонам (III признак равенства треугольников).

5. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$ (так как $M$ лежит на $AD$ и $M_1$ на $A_1D_1$, то $\angle BAM$ совпадает с $\angle BAD$, а $\angle B_1A_1M_1$ — с $\angle B_1A_1D_1$).

6. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$.

• $AB = A_1B_1$ по условию.
• $AM = A_1M_1$ по условию.
• $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$ как доказано выше.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$ по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников).

7. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $BM = B_1M_1$.

8. Так как $M$ и $M_1$ — середины сторон $BC$ и $B_1C_1$, то $BC = 2BM$ и $B_1C_1 = 2B_1M_1$. Из $BM = B_1M_1$ следует, что $BC = B_1C_1$.

9. Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

• $AB = A_1B_1$ по условию.
• $AC = A_1C_1$ по условию.
• $BC = B_1C_1$ как доказано выше.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по трем сторонам (III признак равенства треугольников). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство двух треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, доказано.

293. Сколько можно провести отрезков, параллельных данной прямой, через точку, не принадлежащую этой прямой?

294. На отрезке $AB$ отметили точки $C$ и $D$ так, что $AC : BC = 7 : 8$, $AD : BD = 13 : 17$. Найдите длину отрезка $AB$, если расстояние между точками $C$ и $D$ равно $2$ см.

Пусть длина отрезка $AB$ равна $x$ см.

Согласно первому условию, точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $AC : BC = 7 : 8$. Это означает, что весь отрезок $AB$ можно разделить на $7 + 8 = 15$ равных частей. Тогда длина отрезка $AC$ составит $\frac{7}{15}$ от длины $AB$.

$AC = \frac{7}{15} AB = \frac{7}{15}x$

Согласно второму условию, точка $D$ делит отрезок $AB$ в отношении $AD : BD = 13 : 17$. Это означает, что весь отрезок $AB$ можно разделить на $13 + 17 = 30$ равных частей. Тогда длина отрезка $AD$ составит $\frac{13}{30}$ от длины $AB$.

$AD = \frac{13}{30} AB = \frac{13}{30}x$

Чтобы понять, как расположены точки $C$ и $D$ относительно друг друга, сравним длины отрезков $AC$ и $AD$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 30:

$AC = \frac{7}{15}x = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2}x = \frac{14}{30}x$

Теперь сравним $AC = \frac{14}{30}x$ и $AD = \frac{13}{30}x$.

Поскольку $\frac{14}{30} > \frac{13}{30}$, то $AC > AD$. Это значит, что точка $D$ находится ближе к точке $A$, чем точка $C$. Таким образом, точки на отрезке расположены в следующем порядке: A, D, C, B.

Расстояние между точками $C$ и $D$ равно разности длин отрезков $AC$ и $AD$.

$CD = AC - AD$

Из условия задачи известно, что $CD = 2$ см. Подставим выражения для $AC$ и $AD$:

$2 = \frac{14}{30}x - \frac{13}{30}x$

$2 = \frac{1}{30}x$

Теперь найдем $x$, который равен длине отрезка $AB$:

$x = 2 \cdot 30$

$x = 60$

Таким образом, длина отрезка $AB$ равна 60 см.

Ответ: 60 см.

294. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$, прямая $d$ пересекает прямую $a$. Пересекает ли прямая $d$ прямую $b$?

295. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, лучи $OM$ и $OK$ – биссектрисы соответственно углов $AOC$ и $BOC$, образовавшихся при этом. Будет ли угол $MOK$ прямым?

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$ являются смежными, так как они образуются при пересечении двух прямых, имеют общую вершину O и общую сторону OC, а две другие стороны OA и OB лежат на одной прямой AB. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.

По условию задачи, луч OM является биссектрисой угла $\angle AOC$. Это означает, что он делит угол $\angle AOC$ пополам:
$\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC$.

Аналогично, луч OK является биссектрисой угла $\angle BOC$, поэтому он делит угол $\angle BOC$ пополам:
$\angle COK = \frac{1}{2} \angle BOC$.

Угол $\angle MOK$ является суммой двух смежных углов $\angle MOC$ и $\angle COK$:
$\angle MOK = \angle MOC + \angle COK$.

Подставим в это выражение значения $\angle MOC$ и $\angle COK$:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \angle AOC + \frac{1}{2} \angle BOC$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle MOK = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOC)$.

Так как мы знаем, что сумма смежных углов $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$, подставим это значение в полученное уравнение:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Угол, равный $90^\circ$, является прямым углом. Таким образом, угол $\angle MOK$ будет прямым.

Ответ: да, угол MOK будет прямым.

295. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.