Страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

276. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на $42^\circ$ больше половины второго угла.

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$, а вертикальные углы равны друг другу. Таким образом, при пересечении двух прямых образуются углы только двух величин, которые являются смежными.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два смежных угла, образованных при пересечении прямых. Тогда их сумма равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, один из углов на $42^\circ$ больше половины второго. Выразим это математически. Допустим, угол $\alpha$ больше половины угла $\beta$ на $42^\circ$:

$\alpha = \frac{\beta}{2} + 42^\circ$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \frac{\beta}{2} + 42^\circ \end{cases}$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$\left(\frac{\beta}{2} + 42^\circ\right) + \beta = 180^\circ$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\beta$:

$\frac{3}{2}\beta + 42^\circ = 180^\circ$

$\frac{3}{2}\beta = 180^\circ - 42^\circ$

$\frac{3}{2}\beta = 138^\circ$

$\beta = 138^\circ \cdot \frac{2}{3}$

$\beta = 92^\circ$

Зная $\beta$, найдем $\alpha$ из первого уравнения системы:

$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$

Таким образом, мы нашли два смежных угла: $88^\circ$ и $92^\circ$. Проверим, соответствует ли это условию задачи:

$\frac{92^\circ}{2} + 42^\circ = 46^\circ + 42^\circ = 88^\circ$

Условие выполняется.

При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. Следовательно, два угла будут равны $88^\circ$, а два других — $92^\circ$.

Ответ: $88^\circ, 92^\circ, 88^\circ, 92^\circ$.

276. Докажите, используя метод от противного, что если стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ не равны, то его медиана $BD$ не является его высотой.

277. Разрежьте прямоугольник размером $4 \times 9$ на две равные части, из которых можно сложить квадрат.

Сначала определим размеры квадрата, который необходимо сложить. Площадь исходного прямоугольника равна $4 \times 9 = 36$ кв. ед. Квадрат, составленный из его частей, будет иметь такую же площадь. Следовательно, сторона квадрата будет равна $\sqrt{36} = 6$ ед. Наша задача — разрезать прямоугольник $4 \times 9$ на две равные части и собрать из них квадрат $6 \times 6$.

Это достигается с помощью ступенчатого разреза, который делит прямоугольник на две конгруэнтные (равные) фигуры. Линия разреза начинается на одной из длинных сторон на расстоянии 3 единицы от угла, идет перпендикулярно до середины прямоугольника (на глубину 2 единицы), затем продолжается параллельно длинной стороне на 3 единицы, и, наконец, снова идет перпендикулярно до второй длинной стороны.

Полученные две части затем можно сложить в квадрат. Одна часть перемещается и прикладывается к другой так, что их ступенчатые стороны совмещаются, образуя квадрат со стороной 6.

Ответ:

Разрез прямоугольника и последующая сборка квадрата показаны на схеме ниже. Слева — исходный прямоугольник $4 \times 9$ с линией разреза. Справа — квадрат $6 \times 6$, собранный из двух полученных частей.

277. Докажите методом от противного, что если разность двух углов равна $1^\circ$, то они не могут быть вертикальными.