Номер 276, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 276, страница 81.

276. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на $42^\circ$ больше половины второго угла.

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$, а вертикальные углы равны друг другу. Таким образом, при пересечении двух прямых образуются углы только двух величин, которые являются смежными.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два смежных угла, образованных при пересечении прямых. Тогда их сумма равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, один из углов на $42^\circ$ больше половины второго. Выразим это математически. Допустим, угол $\alpha$ больше половины угла $\beta$ на $42^\circ$:

$\alpha = \frac{\beta}{2} + 42^\circ$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \frac{\beta}{2} + 42^\circ \end{cases}$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$\left(\frac{\beta}{2} + 42^\circ\right) + \beta = 180^\circ$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\beta$:

$\frac{3}{2}\beta + 42^\circ = 180^\circ$

$\frac{3}{2}\beta = 180^\circ - 42^\circ$

$\frac{3}{2}\beta = 138^\circ$

$\beta = 138^\circ \cdot \frac{2}{3}$

$\beta = 92^\circ$

Зная $\beta$, найдем $\alpha$ из первого уравнения системы:

$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$

Таким образом, мы нашли два смежных угла: $88^\circ$ и $92^\circ$. Проверим, соответствует ли это условию задачи:

$\frac{92^\circ}{2} + 42^\circ = 46^\circ + 42^\circ = 88^\circ$

Условие выполняется.

При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. Следовательно, два угла будут равны $88^\circ$, а два других — $92^\circ$.

Ответ: $88^\circ, 92^\circ, 88^\circ, 92^\circ$.

276. Докажите, используя метод от противного, что если стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ не равны, то его медиана $BD$ не является его высотой.