Номер 273, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 273, страница 80.

273. Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём последовательным натуральным числам. Найдите стороны этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.

Пусть длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём последовательным натуральным числам: $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n$ — натуральное число.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Достаточно проверить для двух меньших сторон и одной большей:

$n + (n+1) > n+2$

$2n + 1 > n+2$

$n > 1$

Так как $n$ — натуральное число, то наименьшее возможное значение для $n$ равно 2, то есть $n \ge 2$.

Теперь рассмотрим условие о перпендикулярности медианы и биссектрисы. Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$.

Возможны два случая расположения медианы и биссектрисы:

1. Медиана и биссектриса проведены из одной вершины.Например, из вершины $A$ проведены медиана $AM$ и биссектриса $AL$. Если медиана перпендикулярна биссектрисе ($AM \perp AL$), то они должны совпадать, так как обе начинаются в точке $A$. Если медиана и биссектриса из одной вершины совпадают, то треугольник является равнобедренным ($AB=AC$). Однако по условию задачи стороны являются тремя последовательными натуральными числами, то есть их длины различны. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Медиана и биссектриса проведены из разных вершин.Пусть медиана $AM$ (проведенная к стороне $BC$) перпендикулярна биссектрисе $BL$ (проведенной из вершины $B$). Обозначим точку их пересечения как $O$.Рассмотрим треугольник $ABM$. В этом треугольнике отрезок $BO$ является одновременно биссектрисой угла $\angle ABM$ (поскольку $BL$ — биссектриса $\angle ABC$) и высотой, опущенной на сторону $AM$ (поскольку $BL \perp AM$).Треугольник, в котором биссектриса является высотой, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABM$ — равнобедренный, и его боковые стороны, выходящие из вершины $B$, равны: $AB = BM$.

По определению медианы, $M$ — это середина стороны $BC$, поэтому $BM = \frac{1}{2} BC$.Таким образом, мы получаем соотношение между сторонами исходного треугольника $ABC$:$AB = \frac{1}{2} BC$Используя стандартные обозначения, $c = \frac{a}{2}$, или $a = 2c$.Итак, мы установили, что одна из сторон треугольника должна быть в два раза длиннее другой.

Теперь применим это соотношение к сторонам $n, n+1, n+2$ (с учётом того, что $n \ge 2$):

• Вариант 1: Средняя по длине сторона вдвое больше самой короткой.$n+1 = 2n \Rightarrow n=1$. Этот вариант не подходит, так как мы установили, что $n \ge 2$. (Стороны 1, 2, 3 образуют вырожденный треугольник, $1+2=3$).

• Вариант 2: Самая длинная сторона вдвое больше самой короткой.$n+2 = 2n \Rightarrow n=2$. Это значение удовлетворяет условию $n \ge 2$.В этом случае стороны треугольника равны:$n=2$ см$n+1=3$ см$n+2=4$ смПроверим неравенство треугольника: $2+3 > 4$ (верно). Следовательно, такой треугольник существует.

• Вариант 3: Самая длинная сторона вдвое больше средней.$n+2 = 2(n+1) \Rightarrow n+2 = 2n+2 \Rightarrow n=0$. Это значение не является натуральным числом, поэтому этот вариант невозможен.

Другие возможные комбинации (например, когда короткая сторона вдвое больше какой-либо другой) приводят к отрицательным значениям $n$, что невозможно.

Таким образом, единственно возможным набором длин сторон являются 2 см, 3 см и 4 см.

Ответ: 2 см, 3 см, 4 см.

273. Сформулируйте утверждение, отрицающее данное:

1) отрезок $AB$ пересекает прямую $m$;

2) градусная мера угла $ABC$ больше $40^\circ$;

3) из двух смежных углов хотя бы один не больше $90^\circ$;

4) лучи $OA$ и $OB$ не являются дополнительными;

5) отрезок имеет только одну середину.