Номер 271, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 271, страница 80.

271. Прямая, проходящая через вершину $A$ треугольника $ABC$ перпендикулярно его медиане $BD$, делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$.

1. Анализ условия и введение обозначений

Пусть дан треугольник $ABC$. $BD$ — его медиана, значит, точка $D$ является серединой стороны $AC$. Из этого следует, что $AD = DC$ и $AC = 2AD$.

Пусть прямая, проходящая через вершину $A$, пересекает медиану $BD$ в точке $M$. Согласно условию задачи, эта прямая перпендикулярна медиане $BD$ и делит её пополам. Это можно записать в виде двух условий:

• $AM \perp BD$
• $M$ — середина $BD$, то есть $BM = MD$

2. Определение вида треугольника ABD

Рассмотрим треугольник, образованный вершинами $A, B, D$, то есть $\triangle ABD$. В этом треугольнике отрезок $AM$ является высотой, так как $AM \perp BD$. Также отрезок $AM$ является медианой, так как он делит сторону $BD$ пополам в точке $M$.

В любом треугольнике, если высота и медиана, проведенные из одной и той же вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $BD$. Равенство боковых сторон означает, что $AB = AD$.

3. Вычисление искомого отношения

Требуется найти отношение длин сторон $AB$ и $AC$, то есть $\frac{AB}{AC}$.

Из предыдущих пунктов нам известно, что:

• $AB = AD$ (из свойства равнобедренного $\triangle ABD$)
• $AC = 2AD$ (так как $BD$ — медиана $\triangle ABC$)

Подставляя эти выражения в искомую дробь, получаем:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{2AD}$

Поскольку $A$ и $D$ — разные точки, $AD \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $AD$:

$\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

271. Сформулируйте утверждение, обратное данному:

1) если треугольник равносторонний, то его углы равны;

2) если два угла вертикальные, то их биссектрисы являются дополнительными лучами;

3) если угол между биссектрисами двух углов прямой, то эти углы смежные;

4) если сторона и противолежащий ей угол одного треугольника равны соответственно стороне и противолежащему ей углу другого треугольника, то эти треугольники равны.

Для какого из данных утверждений:

1) прямое и обратное утверждения истинны;

2) прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;

3) прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?