Страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

266. Медианы $AE$ и $CF$, проведённые к боковым сторонам $BC$ и $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $M$. Докажите, что $\Delta AMC$ равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $ \triangle AEC $ и $ \triangle CFA $.

По условию, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным, а $ AB $ и $ BC $ — его боковые стороны. Следовательно, $ AB = BC $. Также, углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.

Поскольку $ AE $ и $ CF $ являются медианами, проведенными к сторонам $ BC $ и $ AB $ соответственно, точки $ E $ и $ F $ являются серединами этих сторон. Таким образом, $ EC = \frac{1}{2}BC $ и $ AF = \frac{1}{2}AB $. Так как $ AB = BC $, то и их половины равны, следовательно, $ EC = AF $.

Теперь сравним треугольники $ \triangle AEC $ и $ \triangle CFA $ по двум сторонам и углу между ними:
1. $ AC $ — общая сторона.
2. $ EC = AF $ (как доказано выше).
3. $ \angle ECA = \angle FAC $ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $, то есть $ \angle BCA = \angle BAC $).

Следовательно, $ \triangle AEC \cong \triangle CFA $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны медианы $ AE = CF $.

Точка $ M $ является точкой пересечения медиан $ AE $ и $ CF $, а значит, $ M $ — центроид треугольника $ \triangle ABC $. По свойству медиан, точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Таким образом, $ AM = \frac{2}{3}AE $ и $ CM = \frac{2}{3}CF $.

Поскольку мы ранее доказали, что $ AE = CF $, то и $ \frac{2}{3}AE = \frac{2}{3}CF $.
Отсюда следует, что $ AM = CM $.

Так как в треугольнике $ \triangle AMC $ две стороны ($ AM $ и $ CM $) равны, то этот треугольник является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ \triangle AMC $ является равнобедренным.

266. На отрезке $AB$ отметили точки $C$ и $D$ так, что $AC : BC = 7 : 8$, $AD : BD = 13 : 17$. Найдите длину отрезка $AB$, если расстояние между точками $C$ и $D$ равно $2$ см.

267. Точки $M$ и $K$ принадлежат соответственно боковым сторонам $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$, $AM = CK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\triangle AOC$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $ΔAOC$ является равнобедренным, необходимо показать, что у него либо две стороны равны ($AO = CO$), либо два угла равны ($∠OAC = ∠OCA$). Мы докажем равенство углов.

Рассмотрим треугольники $ΔAKC$ и $ΔCMA$.

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
2. По условию задачи, треугольник $ΔABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Следовательно, углы при основании $AC$ равны: $∠BAC = ∠BCA$. Эти же углы можно обозначить как $∠KAC$ и $∠MCA$ соответственно. Таким образом, $∠KAC = ∠MCA$.
3. По условию задачи, $AM = CK$.

Таким образом, мы сравниваем треугольники $ΔAKC$ и $ΔCMA$. Однако, для использования признака равенства "по двум сторонам и углу между ними" (первый признак), нам нужно убедиться, что угол находится между известными сторонами. Давайте пересмотрим выбор треугольников. Правильнее будет рассмотреть треугольники $ΔAMC$ и $ΔCKA$.

Рассмотрим треугольники $ΔAMC$ и $ΔCKA$:

• $AM = CK$ (по условию).
• $AC$ — общая сторона.
• $∠MAC = ∠KCA$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ΔABC$).

Следовательно, $ΔAMC = ΔCKA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно: $∠ACM = ∠CAK$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔAOC$. Углы $∠OAC$ и $∠OCA$ являются углами этого треугольника при его основании $AC$.

• Угол $∠OAC$ является тем же углом, что и $∠CAK$.
• Угол $∠OCA$ является тем же углом, что и $∠ACM$.

Поскольку мы доказали, что $∠CAK = ∠ACM$, из этого следует, что $∠OAC = ∠OCA$.

В треугольнике $ΔAOC$ два угла при стороне $AC$ равны. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ΔAOC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

267. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, лучи $OM$ и $OK$ – биссектрисы соответственно углов $AOC$ и $BOC$, образовавшихся при этом.

Будет ли угол $MOK$ прямым?

268. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $\angle EAC = \angle DCA$. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, $DF = EF$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим $\triangle AFC$. По условию задачи дано, что $\angle EAC = \angle DCA$. В треугольнике $AFC$ эти углы являются углами при основании $AC$, то есть $\angle FAC = \angle FCA$.

Треугольник, у которого углы при основании равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AFC$ — равнобедренный, а его боковые стороны равны: $AF = CF$.

Также по условию задачи нам известно, что $DF = EF$.

Сравним длины отрезков $AE$ и $CD$. Отрезок $AE$ состоит из частей $AF$ и $FE$, то есть $AE = AF + FE$. Отрезок $CD$ состоит из частей $CF$ и $FD$, то есть $CD = CF + FD$.

Поскольку $AF = CF$ и $FE = DF$, то, складывая эти равенства, получаем $AF + FE = CF + FD$. Это означает, что $AE = CD$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$. В этих треугольниках:

1. $AC$ — общая сторона.

2. $CD = AE$, как было доказано выше.

3. $\angle DCA = \angle EAC$ по условию.

Следовательно, $\triangle ADC$ равен $\triangle CEA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В $\triangle ADC$ против стороны $CD$ лежит угол $\angle DAC$. В $\triangle CEA$ против равной ей стороны $AE$ лежит угол $\angle ECA$. Таким образом, $\angle DAC = \angle ECA$.

Углы $\angle DAC$ и $\angle ECA$ являются углами при основании $AC$ в треугольнике $ABC$, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ два угла равны, он является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Будет ли угол МОК прямым?

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

268. Квадрат разрезали по диагоналям на четыре треугольника (рис. 188). Сложите из этих треугольников два квадрата.

Рис. 188

269. Через середину $D$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов $ABC$ и $BAC$. Эти прямые пересекают стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что $AM = BK$.

Рис. 200

Доказательство

Для доказательства утверждения разобьем рассуждения на три части.

Часть 1: Доказательство равенства $AM = AD$

Рассмотрим треугольник $ADM$. Пусть $\angle BAC = \alpha$, а его биссектриса — $b_A$. По условию задачи, прямая $DM$ перпендикулярна биссектрисе $b_A$, то есть $DM \perp b_A$.

Найдем углы в треугольнике $ADM$.

• Угол $\angle DAM$ является углом $A$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle DAM = \alpha$.
• Угол $\angle ADM$ — это угол между прямой $AB$ (на которой лежит отрезок $AD$) и прямой $DM$. Угол между прямой $AB$ и биссектрисой $b_A$ равен $\alpha/2$. Поскольку прямая $DM$ перпендикулярна $b_A$, угол между прямыми $AB$ и $DM$ будет равен $90^\circ - \alpha/2$. Таким образом, $\angle ADM = 90^\circ - \alpha/2$.
• Аналогично, угол $\angle AMD$ — это угол между прямой $AC$ (на которой лежит отрезок $AM$) и прямой $DM$. Угол между прямой $AC$ и биссектрисой $b_A$ равен $\alpha/2$. Так как $DM \perp b_A$, угол между прямыми $AC$ и $DM$ равен $90^\circ - \alpha/2$. Таким образом, $\angle AMD = 90^\circ - \alpha/2$.

Поскольку в треугольнике $ADM$ два угла равны ($\angle ADM = \angle AMD$), он является равнобедренным, а стороны, противолежащие этим углам, равны. Следовательно, $AM = AD$.

Часть 2: Доказательство равенства $BK = BD$

Рассмотрим треугольник $BDK$. Пусть $\angle ABC = \beta$, а его биссектриса — $b_B$. По условию, прямая $DK$ перпендикулярна биссектрисе $b_B$, то есть $DK \perp b_B$.

Рассуждая аналогично первой части, найдем углы в треугольнике $BDK$.

• Угол $\angle DBK$ является углом $B$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle DBK = \beta$.
• Угол $\angle BDK$ (между прямыми $AB$ и $DK$) равен $90^\circ - \beta/2$.
• Угол $\angle BKD$ (между прямыми $BC$ и $DK$) равен $90^\circ - \beta/2$.

Поскольку в треугольнике $BDK$ два угла равны ($\angle BDK = \angle BKD$), он является равнобедренным. Следовательно, $BK = BD$.

Часть 3: Завершение доказательства

По условию задачи, точка $D$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что $AD = BD$.

Из результатов, полученных в Части 1 и Части 2, мы имеем:

$AM = AD$

$BK = BD$

Так как $AD = BD$, мы можем заключить, что $AM = BK$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = BK$ доказано.

269. В теоремах 4.1, 8.2, 9.1, 10.3, 11.2 укажите условие и заключение теоремы.

270. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его биссектрисе $BK$. Найдите сторону $AB$, если $BC = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть точка $O$ — это точка пересечения медианы $AM$ и биссектрисы $BK$.

По условию задачи, $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. Это означает, что точка $M$ — середина стороны $BC$, и, следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$.

По условию, $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что она делит угол $\angle B$ пополам: $\angle ABK = \angle KBC$.

Также дано, что медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BK$, то есть $AM \perp BK$. Отсюда следует, что угол между ними равен $90^\circ$, т.е. $\angle AOB = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. В этом треугольнике отрезок $BO$ является одновременно:

1. Биссектрисой угла $\angle ABM$ (так как $BO$ является частью биссектрисы $BK$).
2. Высотой, опущенной на сторону $AM$ (так как $BO \perp AM$).

Если в треугольнике биссектриса, проведенная из некоторой вершины, совпадает с высотой, проведенной из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$.

Это значит, что боковые стороны $AB$ и $BM$ равны: $AB = BM$.

Мы знаем, что $M$ — середина стороны $BC$, и по условию $BC = 16$ см. Найдем длину отрезка $BM$:

$BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 16 = 8$ см.

Так как $AB = BM$, то $AB = 8$ см.

Ответ: 8 см.

270. Из теорем 4.1, 8.2, 9.1, 10.3, 11.2 выберите:

1) теоремы-свойства;

2) теоремы-признаки.

271. Прямая, проходящая через вершину $A$ треугольника $ABC$ перпендикулярно его медиане $BD$, делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$.

1. Анализ условия и введение обозначений

Пусть дан треугольник $ABC$. $BD$ — его медиана, значит, точка $D$ является серединой стороны $AC$. Из этого следует, что $AD = DC$ и $AC = 2AD$.

Пусть прямая, проходящая через вершину $A$, пересекает медиану $BD$ в точке $M$. Согласно условию задачи, эта прямая перпендикулярна медиане $BD$ и делит её пополам. Это можно записать в виде двух условий:

• $AM \perp BD$
• $M$ — середина $BD$, то есть $BM = MD$

2. Определение вида треугольника ABD

Рассмотрим треугольник, образованный вершинами $A, B, D$, то есть $\triangle ABD$. В этом треугольнике отрезок $AM$ является высотой, так как $AM \perp BD$. Также отрезок $AM$ является медианой, так как он делит сторону $BD$ пополам в точке $M$.

В любом треугольнике, если высота и медиана, проведенные из одной и той же вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $BD$. Равенство боковых сторон означает, что $AB = AD$.

3. Вычисление искомого отношения

Требуется найти отношение длин сторон $AB$ и $AC$, то есть $\frac{AB}{AC}$.

Из предыдущих пунктов нам известно, что:

• $AB = AD$ (из свойства равнобедренного $\triangle ABD$)
• $AC = 2AD$ (так как $BD$ — медиана $\triangle ABC$)

Подставляя эти выражения в искомую дробь, получаем:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{2AD}$

Поскольку $A$ и $D$ — разные точки, $AD \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $AD$:

$\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

271. Сформулируйте утверждение, обратное данному:

1) если треугольник равносторонний, то его углы равны;

2) если два угла вертикальные, то их биссектрисы являются дополнительными лучами;

3) если угол между биссектрисами двух углов прямой, то эти углы смежные;

4) если сторона и противолежащий ей угол одного треугольника равны соответственно стороне и противолежащему ей углу другого треугольника, то эти треугольники равны.

Для какого из данных утверждений:

1) прямое и обратное утверждения истинны;

2) прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;

3) прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?

272. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 67,5^\circ$, $\angle B = 22,5^\circ$, CK – биссектриса треугольника ABC, CM – биссектриса треугольника BCK (рис. 200). Докажите, что точка M – середина отрезка AB.

Рис. 200

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи нам даны углы: $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 67,5^\circ$ и $\angle B = 22,5^\circ$.

1. $CK$ является биссектрисой угла $C$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то $CK$ делит его на два равных угла:
$\angle ACK = \angle BCK = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

2. $CM$ является биссектрисой угла $BCK$. Следовательно, $CM$ делит этот угол пополам:
$\angle BCM = \angle KCM = \frac{\angle BCK}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22,5^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $BCM$. В этом треугольнике:
$\angle B = 22,5^\circ$ (по условию).
$\angle BCM = 22,5^\circ$ (как мы нашли в пункте 2).
Поскольку два угла в треугольнике $BCM$ равны ($\angle B = \angle BCM$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BM = CM$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ACM$. Найдем величину угла $\angle ACM$. Он складывается из двух углов:
$\angle ACM = \angle ACK + \angle KCM$.
Подставим известные значения: $\angle ACK = 45^\circ$ и $\angle KCM = 22,5^\circ$.
$\angle ACM = 45^\circ + 22,5^\circ = 67,5^\circ$.

5. В треугольнике $ACM$ нам известны два угла:
$\angle A = 67,5^\circ$ (по условию).
$\angle ACM = 67,5^\circ$ (как мы нашли в пункте 4).
Поскольку два угла в треугольнике $ACM$ равны ($\angle A = \angle ACM$), он также является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AM = CM$.

6. Из результатов, полученных в пунктах 3 и 5, мы имеем два равенства: $BM = CM$ и $AM = CM$.
Отсюда следует, что $AM = BM$.
Это означает, что точка $M$ делит отрезок $AB$ на две равные части, то есть является его серединой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

272. Сформулируйте утверждение, обратное данному:

1) если точка B лежит между точками A и C, то $AB + BC = AC$;

2) если два треугольника не равны, то их периметры также не равны;

3) если градусная мера угла больше 90°, то он тупой.

Для какого из данных утверждений:

1) прямое и обратное утверждения истинны;

2) прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;

3) прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?

273. Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём последовательным натуральным числам. Найдите стороны этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.

Пусть длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём последовательным натуральным числам: $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n$ — натуральное число.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Достаточно проверить для двух меньших сторон и одной большей:

$n + (n+1) > n+2$

$2n + 1 > n+2$

$n > 1$

Так как $n$ — натуральное число, то наименьшее возможное значение для $n$ равно 2, то есть $n \ge 2$.

Теперь рассмотрим условие о перпендикулярности медианы и биссектрисы. Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$.

Возможны два случая расположения медианы и биссектрисы:

1. Медиана и биссектриса проведены из одной вершины.Например, из вершины $A$ проведены медиана $AM$ и биссектриса $AL$. Если медиана перпендикулярна биссектрисе ($AM \perp AL$), то они должны совпадать, так как обе начинаются в точке $A$. Если медиана и биссектриса из одной вершины совпадают, то треугольник является равнобедренным ($AB=AC$). Однако по условию задачи стороны являются тремя последовательными натуральными числами, то есть их длины различны. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Медиана и биссектриса проведены из разных вершин.Пусть медиана $AM$ (проведенная к стороне $BC$) перпендикулярна биссектрисе $BL$ (проведенной из вершины $B$). Обозначим точку их пересечения как $O$.Рассмотрим треугольник $ABM$. В этом треугольнике отрезок $BO$ является одновременно биссектрисой угла $\angle ABM$ (поскольку $BL$ — биссектриса $\angle ABC$) и высотой, опущенной на сторону $AM$ (поскольку $BL \perp AM$).Треугольник, в котором биссектриса является высотой, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABM$ — равнобедренный, и его боковые стороны, выходящие из вершины $B$, равны: $AB = BM$.

По определению медианы, $M$ — это середина стороны $BC$, поэтому $BM = \frac{1}{2} BC$.Таким образом, мы получаем соотношение между сторонами исходного треугольника $ABC$:$AB = \frac{1}{2} BC$Используя стандартные обозначения, $c = \frac{a}{2}$, или $a = 2c$.Итак, мы установили, что одна из сторон треугольника должна быть в два раза длиннее другой.

Теперь применим это соотношение к сторонам $n, n+1, n+2$ (с учётом того, что $n \ge 2$):

• Вариант 1: Средняя по длине сторона вдвое больше самой короткой.$n+1 = 2n \Rightarrow n=1$. Этот вариант не подходит, так как мы установили, что $n \ge 2$. (Стороны 1, 2, 3 образуют вырожденный треугольник, $1+2=3$).

• Вариант 2: Самая длинная сторона вдвое больше самой короткой.$n+2 = 2n \Rightarrow n=2$. Это значение удовлетворяет условию $n \ge 2$.В этом случае стороны треугольника равны:$n=2$ см$n+1=3$ см$n+2=4$ смПроверим неравенство треугольника: $2+3 > 4$ (верно). Следовательно, такой треугольник существует.

• Вариант 3: Самая длинная сторона вдвое больше средней.$n+2 = 2(n+1) \Rightarrow n+2 = 2n+2 \Rightarrow n=0$. Это значение не является натуральным числом, поэтому этот вариант невозможен.

Другие возможные комбинации (например, когда короткая сторона вдвое больше какой-либо другой) приводят к отрицательным значениям $n$, что невозможно.

Таким образом, единственно возможным набором длин сторон являются 2 см, 3 см и 4 см.

Ответ: 2 см, 3 см, 4 см.

273. Сформулируйте утверждение, отрицающее данное:

1) отрезок $AB$ пересекает прямую $m$;

2) градусная мера угла $ABC$ больше $40^\circ$;

3) из двух смежных углов хотя бы один не больше $90^\circ$;

4) лучи $OA$ и $OB$ не являются дополнительными;

5) отрезок имеет только одну середину.

274. В треугольнике $ABC$ $AB = 3$ см, $AC = 6$ см. На стороне $BC$ отметили точку $M$, такую, что $CM = 1$ см. Прямая, проходящая через точку $M$ перпендикулярно биссектрисе угла $ACB$, пересекает отрезок $AC$ в точке $K$, а прямая, проходящая через точку $K$ перпендикулярно биссектрисе угла $BAC$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите отрезок $BD$.

Рассмотрим первую часть условия. Пусть $l_C$ — биссектриса угла $ACB$. Прямая, проходящая через точку $M$ на стороне $BC$, перпендикулярна биссектрисе $l_C$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$.
Это известное геометрическое свойство: если из точки на одной стороне угла провести перпендикуляр к биссектрисе этого угла до пересечения с другой стороной, то отсекается равнобедренный треугольник.
В нашем случае, в треугольнике $KMC$ биссектриса угла $C$ является также высотой (по условию $MK \perp l_C$). Следовательно, треугольник $KMC$ является равнобедренным с основанием $MK$. Таким образом, боковые стороны равны: $CK = CM$.
По условию $CM = 1$ см, значит, $CK = 1$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $AK$. Точка $K$ лежит на отрезке $AC$.
$AK = AC - CK$
Подставляем известные значения: $AC = 6$ см и $CK = 1$ см.
$AK = 6 - 1 = 5$ см.

Рассмотрим вторую часть условия. Пусть $l_A$ — биссектриса угла $BAC$. Прямая, проходящая через точку $K$ на стороне $AC$, перпендикулярна биссектрисе $l_A$ и пересекает прямую $AB$ в точке $D$.
Применяем то же самое свойство для треугольника $ADK$. В этом треугольнике биссектриса угла $A$ является высотой, опущенной на сторону $DK$ (по условию $KD \perp l_A$). Следовательно, треугольник $ADK$ является равнобедренным с основанием $DK$. Таким образом, боковые стороны равны: $AD = AK$.
Мы уже нашли, что $AK = 5$ см, значит, $AD = 5$ см.

Нам нужно найти длину отрезка $BD$. Точки $A, B, D$ лежат на одной прямой. Нам известно, что $AB = 3$ см и $AD = 5$ см.
Поскольку $AD > AB$, точка $B$ лежит между точками $A$ и $D$.
Длину отрезка $BD$ можно найти как разность длин отрезков $AD$ и $AB$.
$BD = AD - AB = 5 - 3 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

274. Сформулируйте утверждение, отрицающее данное:

1) угол $\angle ABC$ не является прямым;

2) треугольник $\triangle MKE$ – равнобедренный;

3) через точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной;

4) луч $AC$ делит угол $\angle BAK$ пополам.

275. На прямой последовательно отметили точки $A, B, C, D, E$ и $F$ так, что $AB = BC = CD = DE = EF$. Найдите отношения $AB : CF, AB : BF, BD : AE$.

По условию задачи, на прямой последовательно расположены точки A, B, C, D, E и F. Расстояния между соседними точками равны. Примем длину этого равного отрезка за условную единицу $x$:

$AB = BC = CD = DE = EF = x$.

AB : CF

Найдем длину отрезка $CF$. Так как точки расположены последовательно, отрезок $CF$ складывается из отрезков $CD$, $DE$ и $EF$.
$CF = CD + DE + EF = x + x + x = 3x$.
Теперь найдем отношение длин отрезков $AB$ и $CF$:
$AB : CF = x : 3x = 1 : 3$.
Ответ: $1 : 3$.

AB : BF

Найдем длину отрезка $BF$. Отрезок $BF$ состоит из отрезков $BC$, $CD$, $DE$ и $EF$.
$BF = BC + CD + DE + EF = x + x + x + x = 4x$.
Найдем отношение длин отрезков $AB$ и $BF$:
$AB : BF = x : 4x = 1 : 4$.
Ответ: $1 : 4$.

BD : AE

Найдем длину отрезка $BD$. Отрезок $BD$ состоит из отрезков $BC$ и $CD$.
$BD = BC + CD = x + x = 2x$.
Найдем длину отрезка $AE$. Отрезок $AE$ состоит из отрезков $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$.
$AE = AB + BC + CD + DE = x + x + x + x = 4x$.
Найдем отношение длин отрезков $BD$ и $AE$:
$BD : AE = 2x : 4x = 1 : 2$.
Ответ: $1 : 2$.

275. Докажите, используя метод от противного, что если любая высота треугольника не совпадает с биссектрисой, проведенной из этой же вершины, то треугольник не является равнобедренным.