Страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

235. На рисунке 187 $AO = CO$, $\angle AOB = \angle COB$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

Рис. 187

Для доказательства того, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо показать, что две его стороны равны. В данном случае докажем, что $AB = CB$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

2. Сравним эти два треугольника на основе данных из условия задачи:

• Сторона $AO$ равна стороне $CO$ ($AO = CO$) по условию.
• Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle COB$ ($\angle AOB = \angle COB$) по условию.
• Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников.

3. Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle AOB$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle COB$.

4. Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы можем утверждать, что $\triangle AOB = \triangle COB$.

5. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, сторона $AB$ треугольника $\triangle AOB$ равна соответствующей стороне $CB$ треугольника $\triangle COB$. Следовательно, $AB = CB$.

6. Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ две стороны ($AB$ и $CB$) равны, по определению он является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $\triangle ABC$ является равнобедренным, доказано.

235. На рисунке 173 $\angle AMK = \angle ACB, AK = MK$. Докажите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.

Рис. 173

236. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, отрезок $BD$ – его биссектриса, отрезок $DM$ – биссектриса треугольника $BDC$. Найдите угол $\angle ADM$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, биссектриса $BD$, проведенная к основанию, является также его высотой и медианой.

Так как $BD$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$. Следовательно, угол $BDC$ является прямым: $ \angle BDC = 90^\circ $. Также $ \angle BDA = 90^\circ $.

По условию, отрезок $DM$ является биссектрисой треугольника $BDC$, а значит, и биссектрисой угла $BDC$. Биссектриса делит угол пополам, поэтому:

$ \angle BDM = \frac{\angle BDC}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

Искомый угол $ADM$ состоит из двух углов: $ \angle BDA $ и $ \angle BDM $. Точки $A$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой, поэтому угол $ADM$ можно найти как сумму этих двух смежных углов:

$ \angle ADM = \angle BDA + \angle BDM $

Подставим известные значения:

$ \angle ADM = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ $

Ответ: $135^\circ$

236. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла $A$, пересекает его стороны в точках $B$ и $C$. Докажите, что $\triangle ABC$ — равнобедренный.

237. Один ученик утверждает, что треугольник $ABC$ равнобедренный, а другой ученик – что треугольник $ABC$ равносторонний.

1) Могут ли оба ученика быть правыми?

2) В каком случае прав только один ученик и какой именно?

1) Могут ли оба ученика быть правыми?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определения равнобедренного и равностороннего треугольников.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. В нём по определению $AB = BC = AC$. Удовлетворяет ли он определению равнобедренного треугольника? Да, удовлетворяет, так как у него есть две равные стороны (на самом деле, даже три). Например, стороны $AB$ и $BC$ равны.

Таким образом, любой равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Если треугольник $ABC$ равносторонний, то утверждение первого ученика ("треугольник равнобедренный") истинно, и утверждение второго ученика ("треугольник равносторонний") также истинно.

Ответ: да, оба ученика могут быть правы, если треугольник $ABC$ является равносторонним.

2) В каком случае прав только один ученик и какой именно?

Рассмотрим две возможные ситуации, когда прав только один ученик.

Ситуация А: Прав только первый ученик.
Это означает, что утверждение "треугольник $ABC$ равнобедренный" истинно, а утверждение "треугольник $ABC$ равносторонний" — ложно. Такой случай возможен, если у треугольника равны только две стороны, а третья им не равна. Например, $AB = BC$, но $AB \ne AC$. В этом случае треугольник является равнобедренным, но не является равносторонним.

Ситуация Б: Прав только второй ученик.
Это означает, что утверждение "треугольник $ABC$ равносторонний" истинно, а утверждение "треугольник $ABC$ равнобедренный" — ложно. Как мы выяснили в первом пункте, эта ситуация невозможна. Если треугольник равносторонний, он по определению является и равнобедренным. Нельзя быть равносторонним, не будучи при этом равнобедренным.

Следовательно, единственная ситуация, когда прав только один ученик, — это когда треугольник $ABC$ равнобедренный, но не равносторонний. В этом случае прав первый ученик.

Ответ: только один ученик прав в том случае, если треугольник $ABC$ является равнобедренным, но не равносторонним. Прав будет тот ученик, который утверждал, что треугольник равнобедренный.

237. Биссектрисы $AM$ и $CK$ углов при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\Delta AOC$ – равнобедренный.

238. Используя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине.

Формулировка доказываемого признака: Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:
Рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.
По определению равнобедренного треугольника, их боковые стороны равны:
$AB = BC$
$A_1B_1 = B_1C_1$
$\angle B$ — угол при вершине $\triangle ABC$.
$\angle B_1$ — угол при вершине $\triangle A_1B_1C_1$.
По условию, боковые стороны и углы при вершинах этих треугольников равны:
$AB = A_1B_1$
$\angle B = \angle B_1$

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
2. По условию, нам дано равенство одной пары боковых сторон: $AB = A_1B_1$.
3. Также по условию нам дано равенство углов при вершине: $\angle B = \angle B_1$.
4. Поскольку треугольники равнобедренные, их боковые стороны попарно равны: $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$.
5. Из равенств $AB = A_1B_1$ (условие) и $AB = BC$ (свойство равнобедренного треугольника), следует, что $BC = A_1B_1$. А так как $A_1B_1 = B_1C_1$ (свойство равнобедренного треугольника), то получаем, что $BC = B_1C_1$.
6. Таким образом, для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ мы имеем:
- $AB = A_1B_1$ (по условию)
- $BC = B_1C_1$ (как доказано в п. 5)
- $\angle B = \angle B_1$ (по условию)
Угол $\angle B$ заключен между сторонами $AB$ и $BC$. Угол $\angle B_1$ заключен между сторонами $A_1B_1$ и $B_1C_1$.
7. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

238. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BK$ является его высотой. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $ABK$ равен 16 см и $BK = 5 \text{ см}$.

239. Используя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу.

Чтобы доказать признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу, мы воспользуемся одним из основных признаков равенства треугольников, а именно вторым признаком (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Дано:
Даны два равнобедренных треугольника: $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с основанием $ A_1C_1 $.
Из условия известно, что их основания равны: $ AC = A_1C_1 $.
Также известно, что равны углы, прилежащие к основанию: $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $.

Доказать:
$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Рассмотрим $ \triangle ABC $. Так как он равнобедренный с основанием $ AC $, то по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $ \angle BAC = \angle BCA $.

2. Теперь рассмотрим $ \triangle A_1B_1C_1 $. Он также равнобедренный с основанием $ A_1C_1 $, следовательно, его углы при основании тоже равны: $ \angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1 $.

3. У нас есть три равенства:
а) $ \angle BAC = \angle BCA $ (из п. 1)
б) $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $ (по условию задачи)
в) $ \angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1 $ (из п. 2)
Из этих равенств следует, что $ \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 $.

4. Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
- $ AC = A_1C_1 $ (по условию).
- $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $ (по условию).
- $ \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 $ (доказано в п. 3).
Таким образом, сторона $ AC $ и два прилежащих к ней угла ($ \angle BAC $ и $ \angle BCA $) треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны стороне $ A_1C_1 $ и двум прилежащим к ней углам ($ \angle B_1A_1C_1 $ и $ \angle B_1C_1A_1 $) треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $.

5. По второму признаку равенства треугольников, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу доказан.

239. Верно ли утверждение:

1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным;

2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный?

240. В треугольнике MKE $MK = ME$. На стороне KE отмечены точки F и N так, что точка N лежит между точками F и E, причём $\angle KMF = \angle EMN$. Докажите, что $\angle MFN = \angle MNF$.

Поскольку в треугольнике $MKE$ стороны $MK$ и $ME$ равны по условию, данный треугольник является равнобедренным с основанием $KE$. Из свойства равнобедренного треугольника следует, что углы при его основании равны: $\angle MKE = \angle MEK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MKF$ и $\triangle MEN$. В этих треугольниках имеется три пары соответственно равных элементов:
1. $MK = ME$ (по условию).
2. $\angle MKF = \angle MEN$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $MKE$).
3. $\angle KMF = \angle EMN$ (по условию).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle MKF$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle MEN$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), заключаем, что $\triangle MKF \cong \triangle MEN$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $MF$ из $\triangle MKF$ равна соответствующей ей стороне $MN$ из $\triangle MEN$, то есть $MF = MN$.

Теперь рассмотрим треугольник $MFN$. Поскольку две его стороны, $MF$ и $MN$, равны, он является равнобедренным с основанием $FN$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle MFN = \angle MNF$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

240. Медианы $AE$ и $CF$, проведённые к боковым сторонам $BC$ и $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $AMC$ – равнобедренный.

241. На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $K$ так, что точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$, причём $AM = CK$. Докажите, что $\triangle MBK$ равнобедренный.

Дано:

$\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC$ — основание.
$M, K \in AC$.
Точка $M$ лежит между точками $A$ и $K$.
$AM = CK$.

Доказать:

$\triangle MBK$ — равнобедренный.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что $\triangle MBK$ является равнобедренным, необходимо доказать равенство его боковых сторон, то есть $BM = BK$. Равенство этих сторон можно доказать через равенство треугольников, в которые они входят.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBK$.

1. По условию, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны. Следовательно, $AB = CB$.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$ (также их можно обозначить как $\angle A$ и $\angle C$). Угол $\angle BAC$ является углом $\angle BAM$, а угол $\angle BCA$ является углом $\angle BCK$. Таким образом, $\angle BAM = \angle BCK$.

3. По условию задачи дано, что $AM = CK$.

Итак, мы установили, что в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle CBK$:

- $AB = CB$ (как боковые стороны равнобедренного $\triangle ABC$).
- $AM = CK$ (по условию).
- $\angle BAM = \angle BCK$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$).

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle CBK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Сторона $BM$ в $\triangle ABM$ соответствует стороне $BK$ в $\triangle CBK$. Значит, $BM = BK$.

Поскольку в треугольнике $MBK$ две стороны ($BM$ и $BK$) равны, то по определению $\triangle MBK$ является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $\triangle MBK$ является равнобедренным, так как из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBK$ (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство сторон $BM = BK$.

241. Точки $M$ и $K$ принадлежат соответственно боковым сторонам $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$, $AM = CK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\Delta AOC$ – равнобедренный.

242. На боковых сторонах $CA$ и $CB$ равнобедренного треугольника $ABC$ соответственно отложены равные отрезки $CK$ и $CM$. Докажите, что:

1) $\triangle AMC = \triangle BKC$;

2) $\triangle AMB = \triangle BKA$.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $CA = CB$. На этих сторонах соответственно отмечены точки K (на $CA$) и M (на $CB$) таким образом, что отрезки $CK = CM$. Необходимо доказать равенство двух пар треугольников.

1) $ΔAMC = ΔBKC$

Рассмотрим треугольники $ΔAMC$ и $ΔBKC$. Для доказательства их равенства воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Сторона $AC$ треугольника $ΔAMC$ равна стороне $BC$ треугольника $ΔBKC$ ($AC = BC$), так как по условию $ΔABC$ — равнобедренный с основанием $AB$.
2. Сторона $CM$ треугольника $ΔAMC$ равна стороне $CK$ треугольника $ΔBKC$ ($CM = CK$) по условию.
3. Угол при вершине C, то есть $\angle ACB$, является общим для обоих треугольников. Следовательно, $\angle MCA = \angle KCB$.

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника ($AC$, $CM$ и $\angle C$ в $ΔAMC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($BC$, $CK$ и $\angle C$ в $ΔBKC$), то эти треугольники равны.

Ответ: Равенство $ΔAMC = ΔBKC$ доказано по первому признаку равенства треугольников.

2) $ΔAMB = ΔBKA$

Рассмотрим треугольники $ΔAMB$ и $ΔBKA$. Для доказательства их равенства также воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Сторона $AB$ является общей стороной для обоих треугольников.
2. Так как $ΔABC$ — равнобедренный, его углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$. Эти углы являются также углами $\angle KAB$ в $ΔBKA$ и $\angle MBA$ в $ΔAMB$. Следовательно, $\angle KAB = \angle MBA$.
3. Найдем длины сторон $AK$ и $BM$. Точка K лежит на отрезке $CA$, поэтому ее длина $AK = CA - CK$. Точка M лежит на отрезке $CB$, поэтому ее длина $BM = CB - CM$. Из условия задачи мы знаем, что $CA = CB$ и $CK = CM$. Вычитая из равных отрезков равные отрезки, получаем равные результаты: $AK = BM$.

Таким образом, в треугольниках $ΔAMB$ и $ΔBKA$ сторона $AB$ — общая, стороны $BM$ и $AK$ равны, и углы между этими сторонами ($\angle MBA$ и $\angle KAB$) также равны. Следовательно, $ΔAMB = ΔBKA$.

Ответ: Равенство $ΔAMB = ΔBKA$ доказано по первому признаку равенства треугольников.

242. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $\angle EAC = \angle DCA$. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, $DF = EF$. Докажите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.

243. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на медиане $BD$ отметили произвольную точку $M$. Докажите, что:

1) $\triangle AMB = \triangle CMB$;

2) $\triangle AMD = \triangle CMD$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана $BD$, проведенная к основанию, является также его биссектрисой и высотой.
Отсюда следует:
1. $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = \angle CBD$.
2. $BD$ — высота, поэтому $BD \perp AC$, и $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.
3. $BD$ — медиана, поэтому $AD = DC$.

1) $\triangle AMB = \triangle CMB$;

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CMB$.
В них:
- Сторона $AB$ равна стороне $CB$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).
- Сторона $BM$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle ABM$ равен углу $\angle CBM$, так как $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, а точка $M$ лежит на отрезке $BD$.
Следовательно, треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CMB$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $\triangle AMD = \triangle CMD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle CMD$.
В них:
- Сторона $AD$ равна стороне $CD$, так как $BD$ — медиана.
- Сторона $MD$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle ADM$ равен углу $\angle CDM$ и составляет $90^\circ$, так как $BD$ — высота.
Следовательно, треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle CMD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Также можно доказать равенство по третьему признаку (по трем сторонам), так как из равенства $\triangle AMB = \triangle CMB$ (доказано в пункте 1) следует равенство сторон $AM = CM$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

243. Через середину $D$ стороны $AB$ треугольника $\triangle ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов $\angle ABC$ и $\angle BAC$. Эти прямые пересекают стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что $AM = BK$.

244. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вершин углов при основании, равны.

Дано:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании также равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
Из вершин углов при основании $A$ и $C$ проведены биссектрисы $AD$ и $CE$ соответственно, где точка $D$ лежит на стороне $BC$, а точка $E$ — на стороне $AB$.

Доказать:

$AD = CE$.

Доказательство:

Для доказательства рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$.
Сравним эти треугольники по трём элементам:
1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
2. Углы $\angle EAC$ и $\angle DCA$ равны, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ ($\angle EAC = \angle BAC$, $\angle DCA = \angle BCA$, и по условию $\angle BAC = \angle BCA$).
3. Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, то $\angle DAC = \frac{1}{2}\angle BAC$. Так как $CE$ — биссектриса угла $\angle BCA$, то $\angle ECA = \frac{1}{2}\angle BCA$. Поскольку углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны, то и их половины равны, следовательно, $\angle DAC = \angle ECA$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$ сторона $AC$ — общая, и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\angle DAC$ и $\angle DCA$) соответственно равны двум прилежащим углам другого треугольника ($\angle ECA$ и $\angle EAC$).
Следовательно, $\triangle ADC \cong \triangle CEA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Сторона $AD$ в $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle DCA$. Сторона $CE$ в $\triangle CEA$ лежит напротив угла $\angle EAC$. Так как $\angle DCA = \angle EAC$, то и стороны, лежащие напротив них, равны.
Значит, $AD = CE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство биссектрис, проведённых из вершин углов при основании равнобедренного треугольника, доказано.

Докажите, что $AM = BK$.

244. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его биссектрисе $BK$. Найдите сторону $AB$, если $BC = 16$ см.

245. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Также в равнобедренном треугольнике равны углы при основании: $\angle BAC = \angle BCA$.

Проведём медианы $AM$ к боковой стороне $BC$ и $CN$ к боковой стороне $AB$. Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $N$ – серединой стороны $AB$.

Требуется доказать, что медианы $AM$ и $CN$ равны, то есть $AM = CN$.

Доказательство:

Для доказательства равенства отрезков $AM$ и $CN$ рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle CAN$.

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

2. Так как $N$ – середина стороны $AB$, то $AN = \frac{1}{2} AB$. Так как $M$ – середина стороны $BC$, то $CM = \frac{1}{2} BC$. Поскольку по условию $AB = BC$, то и половины этих сторон равны: $AN = CM$.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ равны, то есть $\angle NAC = \angle MCA$ (так как это те же углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$).

Таким образом, мы имеем два треугольника ($\triangle ACM$ и $\triangle CAN$), у которых две стороны и угол между ними соответственно равны:

• $AN = CM$ (как половины равных сторон)
• $\angle NAC = \angle MCA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника)
• $AC$ – общая сторона

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle CAN$ равен треугольнику $\triangle ACM$. $$ \triangle CAN \cong \triangle ACM $$

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CN$ в треугольнике $\triangle CAN$ лежит напротив угла $\angle NAC$. Сторона $AM$ в треугольнике $\triangle ACM$ лежит напротив угла $\angle MCA$. Так как $\angle NAC = \angle MCA$, то и противолежащие им стороны равны: $CN = AM$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

245. Прямая, проходящая через вершину $A$ треугольника $ABC$ перпендикулярно его медиане $BD$, делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$.

246. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. Пусть $AC$ — основание этого треугольника.

Обозначим середины сторон треугольника $ABC$ как:

• $D$ — середина стороны $AB$
• $E$ — середина стороны $BC$
• $F$ — середина стороны $AC$

Эти точки являются вершинами нового треугольника $DEF$. Нам необходимо доказать, что треугольник $DEF$ также является равнобедренным.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Рассмотрим отрезок $DF$. Он соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $DF$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии: $DF = \frac{1}{2} BC$

2. Рассмотрим отрезок $EF$. Он соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Следовательно, $EF$ — также средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии: $EF = \frac{1}{2} AB$

3. Рассмотрим отрезок $DE$. Он соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии: $DE = \frac{1}{2} AC$

Теперь сравним длины сторон треугольника $DEF$. По условию задачи, исходный треугольник $ABC$ является равнобедренным, и мы приняли, что $AB = BC$.

Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, следует: $DF = \frac{1}{2} BC$
$EF = \frac{1}{2} AB$

Поскольку $AB = BC$, то и их половины равны: $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC$. Отсюда следует, что $DF = EF$.

Так как в треугольнике $DEF$ две стороны ($DF$ и $EF$) равны, то по определению он является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

246. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 67,5^\circ$, $\angle B = 22,5^\circ$, $CK$ — биссектриса треугольника $ABC$, $CM$ — биссектриса треугольника $BCK$ (рис. 174). Докажите, что точка $M$ — середина отрезка $AB$.

247. Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие его стороны равны 7 см и 4 см. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике две из трех сторон имеют одинаковую длину. По условию задачи, нам известны длины двух сторон: 7 см и 4 см. Третья сторона должна быть равна одной из этих двух, чтобы треугольник был равнобедренным. Следовательно, необходимо рассмотреть два возможных варианта.

Вариант 1: Третья сторона равна 7 см.
В этом случае стороны треугольника имеют длины 7 см, 7 см и 4 см. Для того чтобы треугольник с такими сторонами мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины оставшейся третьей стороны.
Проверим выполнение этого условия:
$7 + 7 > 4$, что эквивалентно $14 > 4$ (верно).
$7 + 4 > 7$, что эквивалентно $11 > 7$ (верно).
Так как неравенство треугольника выполняется, то такой треугольник существует.

Вариант 2: Третья сторона равна 4 см.
В этом случае стороны треугольника имеют длины 7 см, 4 см и 4 см. Снова проверим выполнение неравенства треугольника:
$4 + 4 > 7$, что эквивалентно $8 > 7$ (верно).
$7 + 4 > 4$, что эквивалентно $11 > 4$ (верно).
Так как неравенство треугольника выполняется и в этом случае, такой треугольник также существует.

Таким образом, мы выяснили, что оба варианта возможны. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: третья сторона может быть равна 7 см или 4 см. Задача имеет два решения.

247. Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны трём идущим подряд натуральным числам. Найдите стороны этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.

248. Одна из сторон равнобедренного треугольника равна 4 см. Найдите две другие стороны, если периметр треугольника равен 14 см.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья — основанием. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. По условию, одна из сторон равна 4 см, а периметр равен 14 см. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Известная сторона является боковой.
Если боковая сторона равна 4 см, то и другая боковая сторона равна 4 см. Найдем длину третьей стороны (основания), которую обозначим как c.
Периметр $P = 4 + 4 + c$.
По условию, $P = 14$ см, следовательно:
$14 = 8 + c$
$c = 14 - 8 = 6$ см.
Получаем треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 6 см.
Проверим, выполняется ли для этого треугольника неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны):
$4 + 4 > 6 \implies 8 > 6$ (верно)
$4 + 6 > 4 \implies 10 > 4$ (верно)
Такой треугольник существует. Две другие его стороны равны 4 см и 6 см.
Ответ: 4 см и 6 см.

Случай 2: Известная сторона является основанием.
Если основание равно 4 см, то две боковые стороны равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как x.
Периметр $P = x + x + 4$.
По условию, $P = 14$ см, следовательно:
$14 = 2x + 4$
$2x = 14 - 4$
$2x = 10$
$x = 5$ см.
Получаем треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 4 см.
Проверим неравенство треугольника:
$5 + 5 > 4 \implies 10 > 4$ (верно)
$5 + 4 > 5 \implies 9 > 5$ (верно)
Такой треугольник также существует. Две другие его стороны равны по 5 см.
Ответ: 5 см и 5 см.

248. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 6$ см. На стороне $BC$ отметили точку $M$ такую, что $CM = 1$ см. Прямая, проходящая через точку $M$ перпендикулярно биссектрисе угла $ACB$, пересекает отрезок $AC$ в точке $K$, а прямая, проходящая через точку $K$ перпендикулярно биссектрисе угла $BAC$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите длину отрезка $BD$.