Номер 243, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 243, страница 74.

243. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на медиане $BD$ отметили произвольную точку $M$. Докажите, что:

1) $\triangle AMB = \triangle CMB$;

2) $\triangle AMD = \triangle CMD$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана $BD$, проведенная к основанию, является также его биссектрисой и высотой.
Отсюда следует:
1. $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = \angle CBD$.
2. $BD$ — высота, поэтому $BD \perp AC$, и $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.
3. $BD$ — медиана, поэтому $AD = DC$.

1) $\triangle AMB = \triangle CMB$;

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CMB$.
В них:
- Сторона $AB$ равна стороне $CB$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).
- Сторона $BM$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle ABM$ равен углу $\angle CBM$, так как $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, а точка $M$ лежит на отрезке $BD$.
Следовательно, треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CMB$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $\triangle AMD = \triangle CMD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle CMD$.
В них:
- Сторона $AD$ равна стороне $CD$, так как $BD$ — медиана.
- Сторона $MD$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle ADM$ равен углу $\angle CDM$ и составляет $90^\circ$, так как $BD$ — высота.
Следовательно, треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle CMD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Также можно доказать равенство по третьему признаку (по трем сторонам), так как из равенства $\triangle AMB = \triangle CMB$ (доказано в пункте 1) следует равенство сторон $AM = CM$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

243. Через середину $D$ стороны $AB$ треугольника $\triangle ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов $\angle ABC$ и $\angle BAC$. Эти прямые пересекают стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что $AM = BK$.