Номер 242, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 242, страница 74.

242. На боковых сторонах $CA$ и $CB$ равнобедренного треугольника $ABC$ соответственно отложены равные отрезки $CK$ и $CM$. Докажите, что:

1) $\triangle AMC = \triangle BKC$;

2) $\triangle AMB = \triangle BKA$.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $CA = CB$. На этих сторонах соответственно отмечены точки K (на $CA$) и M (на $CB$) таким образом, что отрезки $CK = CM$. Необходимо доказать равенство двух пар треугольников.

1) $ΔAMC = ΔBKC$

Рассмотрим треугольники $ΔAMC$ и $ΔBKC$. Для доказательства их равенства воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Сторона $AC$ треугольника $ΔAMC$ равна стороне $BC$ треугольника $ΔBKC$ ($AC = BC$), так как по условию $ΔABC$ — равнобедренный с основанием $AB$.
2. Сторона $CM$ треугольника $ΔAMC$ равна стороне $CK$ треугольника $ΔBKC$ ($CM = CK$) по условию.
3. Угол при вершине C, то есть $\angle ACB$, является общим для обоих треугольников. Следовательно, $\angle MCA = \angle KCB$.

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника ($AC$, $CM$ и $\angle C$ в $ΔAMC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($BC$, $CK$ и $\angle C$ в $ΔBKC$), то эти треугольники равны.

Ответ: Равенство $ΔAMC = ΔBKC$ доказано по первому признаку равенства треугольников.

2) $ΔAMB = ΔBKA$

Рассмотрим треугольники $ΔAMB$ и $ΔBKA$. Для доказательства их равенства также воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Сторона $AB$ является общей стороной для обоих треугольников.
2. Так как $ΔABC$ — равнобедренный, его углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$. Эти углы являются также углами $\angle KAB$ в $ΔBKA$ и $\angle MBA$ в $ΔAMB$. Следовательно, $\angle KAB = \angle MBA$.
3. Найдем длины сторон $AK$ и $BM$. Точка K лежит на отрезке $CA$, поэтому ее длина $AK = CA - CK$. Точка M лежит на отрезке $CB$, поэтому ее длина $BM = CB - CM$. Из условия задачи мы знаем, что $CA = CB$ и $CK = CM$. Вычитая из равных отрезков равные отрезки, получаем равные результаты: $AK = BM$.

Таким образом, в треугольниках $ΔAMB$ и $ΔBKA$ сторона $AB$ — общая, стороны $BM$ и $AK$ равны, и углы между этими сторонами ($\angle MBA$ и $\angle KAB$) также равны. Следовательно, $ΔAMB = ΔBKA$.

Ответ: Равенство $ΔAMB = ΔBKA$ доказано по первому признаку равенства треугольников.

242. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $\angle EAC = \angle DCA$. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, $DF = EF$. Докажите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.