Номер 240, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 240, страница 74.

240. В треугольнике MKE $MK = ME$. На стороне KE отмечены точки F и N так, что точка N лежит между точками F и E, причём $\angle KMF = \angle EMN$. Докажите, что $\angle MFN = \angle MNF$.

Поскольку в треугольнике $MKE$ стороны $MK$ и $ME$ равны по условию, данный треугольник является равнобедренным с основанием $KE$. Из свойства равнобедренного треугольника следует, что углы при его основании равны: $\angle MKE = \angle MEK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MKF$ и $\triangle MEN$. В этих треугольниках имеется три пары соответственно равных элементов:
1. $MK = ME$ (по условию).
2. $\angle MKF = \angle MEN$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $MKE$).
3. $\angle KMF = \angle EMN$ (по условию).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle MKF$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle MEN$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), заключаем, что $\triangle MKF \cong \triangle MEN$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $MF$ из $\triangle MKF$ равна соответствующей ей стороне $MN$ из $\triangle MEN$, то есть $MF = MN$.

Теперь рассмотрим треугольник $MFN$. Поскольку две его стороны, $MF$ и $MN$, равны, он является равнобедренным с основанием $FN$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle MFN = \angle MNF$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

240. Медианы $AE$ и $CF$, проведённые к боковым сторонам $BC$ и $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $AMC$ – равнобедренный.