Номер 239, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 239, страница 74.

239. Используя признаки равенства треугольников, докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу.

Чтобы доказать признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу, мы воспользуемся одним из основных признаков равенства треугольников, а именно вторым признаком (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Дано:
Даны два равнобедренных треугольника: $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с основанием $ A_1C_1 $.
Из условия известно, что их основания равны: $ AC = A_1C_1 $.
Также известно, что равны углы, прилежащие к основанию: $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $.

Доказать:
$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Рассмотрим $ \triangle ABC $. Так как он равнобедренный с основанием $ AC $, то по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $ \angle BAC = \angle BCA $.

2. Теперь рассмотрим $ \triangle A_1B_1C_1 $. Он также равнобедренный с основанием $ A_1C_1 $, следовательно, его углы при основании тоже равны: $ \angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1 $.

3. У нас есть три равенства:
а) $ \angle BAC = \angle BCA $ (из п. 1)
б) $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $ (по условию задачи)
в) $ \angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1 $ (из п. 2)
Из этих равенств следует, что $ \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 $.

4. Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
- $ AC = A_1C_1 $ (по условию).
- $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $ (по условию).
- $ \angle BCA = \angle B_1C_1A_1 $ (доказано в п. 3).
Таким образом, сторона $ AC $ и два прилежащих к ней угла ($ \angle BAC $ и $ \angle BCA $) треугольника $ \triangle ABC $ соответственно равны стороне $ A_1C_1 $ и двум прилежащим к ней углам ($ \angle B_1A_1C_1 $ и $ \angle B_1C_1A_1 $) треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $.

5. По второму признаку равенства треугольников, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и прилежащему к нему углу доказан.

239. Верно ли утверждение:

1) если медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным;

2) если биссектриса треугольника делит противолежащую сторону пополам, то этот треугольник равнобедренный?