Номер 246, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 246, страница 74.

246. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. Пусть $AC$ — основание этого треугольника.

Обозначим середины сторон треугольника $ABC$ как:

• $D$ — середина стороны $AB$
• $E$ — середина стороны $BC$
• $F$ — середина стороны $AC$

Эти точки являются вершинами нового треугольника $DEF$. Нам необходимо доказать, что треугольник $DEF$ также является равнобедренным.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Рассмотрим отрезок $DF$. Он соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $DF$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии: $DF = \frac{1}{2} BC$

2. Рассмотрим отрезок $EF$. Он соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Следовательно, $EF$ — также средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии: $EF = \frac{1}{2} AB$

3. Рассмотрим отрезок $DE$. Он соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии: $DE = \frac{1}{2} AC$

Теперь сравним длины сторон треугольника $DEF$. По условию задачи, исходный треугольник $ABC$ является равнобедренным, и мы приняли, что $AB = BC$.

Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, следует: $DF = \frac{1}{2} BC$
$EF = \frac{1}{2} AB$

Поскольку $AB = BC$, то и их половины равны: $\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC$. Отсюда следует, что $DF = EF$.

Так как в треугольнике $DEF$ две стороны ($DF$ и $EF$) равны, то по определению он является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

246. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 67,5^\circ$, $\angle B = 22,5^\circ$, $CK$ — биссектриса треугольника $ABC$, $CM$ — биссектриса треугольника $BCK$ (рис. 174). Докажите, что точка $M$ — середина отрезка $AB$.