Номер 251, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 251, страница 75.

251. На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ (рис. 189) отметили точки $M$, $K$ и $D$ так, что $AD = BM = CK$. Докажите, что $\Delta MKD$ равносторонний.

Рис. 189

Дано:
$△ABC$ — равносторонний,
$D \in AC$, $M \in AB$, $K \in BC$,
$AD = BM = CK$.

Доказать:
$△MKD$ — равносторонний.

Доказательство:

Рассмотрим три треугольника: $△ADM$, $△BMK$ и $△CKD$.

1. Поскольку $△ABC$ равносторонний по условию, то все его стороны равны и все углы равны $60°$:
$AB = BC = AC$
$∠A = ∠B = ∠C = 60°$.

2. По условию задачи отрезки $AD$, $BM$ и $CK$ равны: $AD = BM = CK$.

3. Найдем длины отрезков $AM$, $BK$ и $CD$.
$AM = AB - BM$
$BK = BC - CK$
$CD = AC - AD$
Так как $AB = BC = AC$ и $BM = CK = AD$, то, вычитая равные отрезки из равных, мы получаем равные результаты:
$AM = BK = CD$.

4. Теперь мы можем сравнить треугольники $△ADM$, $△BMK$ и $△CKD$. В них:
- $AD = BM = CK$ (по условию).
- $AM = BK = CD$ (как доказано в пункте 3).
- $∠A = ∠B = ∠C = 60°$ (углы равностороннего треугольника).
Таким образом, $△ADM = △BMK = △CKD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

5. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Стороны $DM$, $MK$ и $KD$ лежат напротив равных углов $A$, $B$ и $C$. Следовательно, эти стороны равны между собой:
$DM = MK = KD$.

6. Поскольку все три стороны треугольника $△MKD$ равны, то по определению он является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $△ADM$, $△BMK$ и $△CKD$ доказано по двум сторонам и углу между ними. Из их равенства следует, что $DM = MK = KD$, а значит, треугольник $△MKD$ является равносторонним.

251. Разрежьте прямоугольник размером $4 \times 9$ на две равные части, из которых можно сложить квадрат.