Номер 254, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 254, страница 75.

254. Точки $C$ и $D$ разделили отрезок $AB$, длина которого равна $a$, на три отрезка $AC$, $CD$ и $DB$ так, что $AC = 2CD$, $CD = 2DB$. Найдите рас-стояние между:

1) точкой $А$ и серединой отрезка $CD$;

2) серединами отрезков $AC$ и $DB$.

По условию задачи, отрезок $AB$ длиной $a$ разделен точками C и D на три отрезка $AC$, $CD$ и $DB$. Длины этих отрезков связаны соотношениями: $AC = 2CD$ и $CD = 2DB$.

Сначала выразим длины всех отрезков через одну переменную. Пусть длина отрезка $DB = x$. Тогда из условия $CD = 2DB$ получаем $CD = 2x$. А из условия $AC = 2CD$ получаем $AC = 2(2x) = 4x$.

Сумма длин этих трех отрезков составляет длину всего отрезка $AB$: $AC + CD + DB = AB$ Подставим наши выражения: $4x + 2x + x = a$ $7x = a$ Отсюда $x = \frac{a}{7}$.

Теперь мы можем найти длины каждого из отрезков в долях от $a$: $DB = x = \frac{a}{7}$ $CD = 2x = 2 \cdot \frac{a}{7} = \frac{2a}{7}$ $AC = 4x = 4 \cdot \frac{a}{7} = \frac{4a}{7}$

1) точкой А и серединой отрезка CD;

Пусть точка $M$ является серединой отрезка $CD$. Нам необходимо найти расстояние $AM$. Это расстояние равно сумме длин отрезков $AC$ и $CM$. $AM = AC + CM$ Так как $M$ — середина $CD$, то $CM = \frac{1}{2}CD$. $CM = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{7} = \frac{a}{7}$ Теперь вычислим искомое расстояние: $AM = AC + CM = \frac{4a}{7} + \frac{a}{7} = \frac{5a}{7}$

Ответ: $\frac{5a}{7}$

2) серединами отрезков AC и DB.

Пусть точка $P$ — середина отрезка $AC$, а точка $Q$ — середина отрезка $DB$. Нам необходимо найти расстояние $PQ$. Это расстояние можно найти как сумму длин отрезков $PC$, $CD$ и $DQ$. $PQ = PC + CD + DQ$ Найдем длину каждого из этих отрезков: $P$ — середина $AC$, значит $PC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{4a}{7} = \frac{2a}{7}$. $Q$ — середина $DB$, значит $DQ = \frac{1}{2}DB = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{7} = \frac{a}{14}$. Длина $CD$ нам уже известна: $CD = \frac{2a}{7}$. Теперь сложим полученные значения: $PQ = \frac{2a}{7} + \frac{2a}{7} + \frac{a}{14}$ Приведем дроби к общему знаменателю 14: $PQ = \frac{4a}{14} + \frac{4a}{14} + \frac{a}{14} = \frac{4a + 4a + a}{14} = \frac{9a}{14}$

Ответ: $\frac{9a}{14}$

254. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и основание одного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого треугольника.